Determine a equação da parábola P1 cujo vértice coincide com o vértice da parábola P2: y^2-4 x-4 y+16=0 e cuja diretriz coincide com o eixo focal da hipérbole H: (y+2)^24-(x-5)^216=1.
Resp. (y-2)^2=-8(x-3)

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola P1 cuja vértice coincide com o vértice de
P2: y^2-4x-4y+16=0
e cuja diretriz é igual ao eixo focal da hipérbole
H:(y+2)^24-(x-5)^216=1
Vamos primeiro achar o vértice de P2 e depois determinar a reta diretiz de P1 a partir do eixo focal de H.

Passo 2

Para achar o vértice de P2, completamos o quadrado em y:
y^2-4y-4x+16=0
(y^2-4y+4)-4-4x+16=0
(y-2)^2=4x-12
(y-2)^2=4,(x-3)
Isso mostra que P2 tem vértice em
(h,k)=(3,2)

Passo 3

A hipérbole
(y+2)^24-(x-5)^216=1
é centrada em (5,-2) e o termo positivo está em (y+2)^2, logo seu eixo focal é vertical, dado pela reta
x=5
Portanto, a diretriz de P1 será
x=5

Passo 4

Em uma parábola de vértice (h,k), equação
(y-k)^2=4p,(x-h),
a diretriz é x=h-p. Aqui h=3 e queremos h-p=5, então
3-p=5Longrightarrow p=-2

Passo 5

Substituindo h=3, k=2 e p=-2 na forma padrão, obtemos
(y-2)^2=4(-2),(x-3)
ou seja
(y-2)^2=-8,(x-3)

Resposta

(y-2)^2=-8(x-3)

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