Determine a equação canônica da elipse:
f. de equação
Resp.
f. de equação
Resp.
Passo 1
O enunciado dá a elipse central de equação
e pede sua forma canônica, isto é, após rotação de eixos para eliminar o termo misto
e escalonamento para obter
Passo 2
Escrevemos a parte quadrática em forma matricial. Se
então
O determinante desse sistema é central (não há termos lineares em
x,y ), e o termo misto será eliminado por uma rotação de ângulo
theta .]
Passo 3
Para encontrar os autovalores
lambda1,lambda2 da matriz
calculamos
Logo
Passo 4
Na base de autovetores
(u,v) a forma quadrática diagonaliza para
Dividindo ambos os lados por
2 temos
Como
2/lambda1=2/(5/2)=4/5 e
2/lambda2=2/(1/2)=4 , obtemos
Passo 5
Bastou então chamar
x'=u e
y'=v , de modo que a equação canônica da elipse fica