Determine a equação canônica da elipse:
f. de equação x^2+raiz3 x y+2 y^2-2=0
Resp. x^prime 245+y^prime 2=1

Passo 1

O enunciado dá a elipse central de equação
x^2+raiz3,x y+2y^2-2=0
e pede sua forma canônica, isto é, após rotação de eixos para eliminar o termo misto xy e escalonamento para obter
x'^2a^2+y'^2b^2=1

Passo 2

Escrevemos a parte quadrática em forma matricial. Se
Q(x,y)=x^2+raiz3,x y+2y^2,
então
Q(x,y)=x & y 1 & tfracraiz32[6pt] tfracraiz32 & 2 x y
O determinante desse sistema é central (não há termos lineares em x,y), e o termo misto será eliminado por uma rotação de ângulo theta.]

Passo 3

Para encontrar os autovalores lambda1,lambda2 da matriz
M= 1 & tfracraiz32[3pt] tfracraiz32 & 2
calculamos
tr,M=3,det M=;1cdot2-l(tfracraiz32r)^2=2-tfrac34=tfrac54,
De<a=(tr,M)^2-4det M=9-5=4,raizDe<a=2
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lambda1=3+22=52, lambda2=3-22=12 ]

Passo 4

Na base de autovetores (u,v) a forma quadrática diagonaliza para
lambda1,u^2+lambda2,v^2=2
Dividindo ambos os lados por 2 temos
lambda12,u^2+lambda22,v^2=1 Longrightarrow u^22/lambda1+v^22/lambda2=1
Como 2/lambda1=2/(5/2)=4/5 e 2/lambda2=2/(1/2)=4, obtemos
u^2tfrac45+v^24=1

Passo 5

Bastou então chamar x'=u e y'=v, de modo que a equação canônica da elipse fica
x'^2tfrac45+y'^24=1

Resposta

x'^2tfrac45+y'^24=1

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