Seja G o grupo aditivo de todas as matrizes quadradas triangular superior de ordem 2. Seja H o subconjunto G formado pelas matrizes da forma
(ll 1 & x 0 & 1 )
onde x in R. Prove que
c) H triang<=<=ft G.

Passo 1

O enunciado trata do grupo multiplicativo G formado por todas as matrizes quadradas de ordem 2, triangulares superiores e invertíveis, sob o produto de matrizes. O subconjunto
H = 1 & x[6pt]0 & 1;|;xinR
é conhecido como as matrizes unipotentes superiores. Já mostramos nas letras anteriores que H é de fato um subgrupo de G. Agora queremos provar que H é normal em G, ou seja, que para todo gin G e todo hin H vale
g,h,g^-1;in;H ]

Passo 2

Seja um elemento arbitrário de G dado por
g=a & b[4pt]0 & c,
com a,cneq0, e seja
h=1 & x[4pt]0 & 1
um elemento de H. Primeiro precisamos da expressão de g^-1. Como g é triangular superior, seu inverso é também triangular superior e satisfaz
g^-1 = a^-1 & y[4pt]0 & c^-1
Para encontrar y, basta resolver
a & b0 & c a^-1 & y0 & c^-1 = 1 & 00 & 1
Da multiplicação das entradas superiores:
acdot a^-1 + bcdot 0 = 1, acdot y + bcdot c^-1 = 0 ;Longrightarrow; y = -ba,c
Logo
g^-1 = a^-1 & -dfracba,c[8pt] 0 & c^-1 ]

Passo 3

Agora calculamos o conjugado g,h,g^-1. Primeiro
g,h = a & b0 & c 1 & x0 & 1 = acdot1 + bcdot0 & acdot x + bcdot1[4pt]0cdot1 + ccdot0 & 0cdot x + ccdot1 = a & a,x + b[4pt]0 & c
Em seguida
g,h,g^-1 = a & a,x + b0 & c a^-1 & -ba,c[6pt] 0 & c^-1
Multiplicando, obtemos
l(g,h,g^-1r)11 = acdot a^-1 + (a,x+b)cdot0 = 1, l(g,h,g^-1r)12 = al(-tfracba,cr) + (a,x+b),tfrac1c = -tfracbc + tfraca,x+bc = tfracac,x,
e as entradas da segunda linha dão (0,1). Logo
g,h,g^-1 = 1 & dfracac,x[6pt] 0 & 1
Como dfracac,xinR, esse conjugado está em H.]

Resposta

Mostramos que para todo gin G e hin H temos g,h,g^-1in H. Portanto H é um subgrupo normal de G, ou seja,
H triang<=<=ft G

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