Seja o grupo aditivo de todas as matrizes quadradas triangular superior de ordem 2. Seja o subconjunto formado pelas matrizes da forma
onde x in R. Prove que
c) H triang<=<=ft G.
Passo 1
O enunciado trata do grupo multiplicativo G formado por todas as matrizes quadradas de ordem 2, triangulares superiores e invertíveis, sob o produto de matrizes. O subconjunto
H = 1 & x[6pt]0 & 1;|;xinR
é conhecido como as matrizes unipotentes superiores. Já mostramos nas letras anteriores que H é de fato um subgrupo de G. Agora queremos provar que H é normal em G, ou seja, que para todo gin G e todo hin H vale
g,h,g^-1;in;H ]
Passo 2
Seja um elemento arbitrário de G dado por
g=a & b[4pt]0 & c,
com a,cneq0, e seja
h=1 & x[4pt]0 & 1
um elemento de H. Primeiro precisamos da expressão de g^-1. Como g é triangular superior, seu inverso é também triangular superior e satisfaz
g^-1 = a^-1 & y[4pt]0 & c^-1
Para encontrar y, basta resolver
a & b0 & c a^-1 & y0 & c^-1 = 1 & 00 & 1
Da multiplicação das entradas superiores:
acdot a^-1 + bcdot 0 = 1, acdot y + bcdot c^-1 = 0 ;Longrightarrow; y = -ba,c
Logo
g^-1 = a^-1 & -dfracba,c[8pt] 0 & c^-1 ]
Passo 3
Agora calculamos o conjugado g,h,g^-1. Primeiro
g,h = a & b0 & c 1 & x0 & 1 = acdot1 + bcdot0 & acdot x + bcdot1[4pt]0cdot1 + ccdot0 & 0cdot x + ccdot1 = a & a,x + b[4pt]0 & c
Em seguida
g,h,g^-1 = a & a,x + b0 & c a^-1 & -ba,c[6pt] 0 & c^-1