Determine a equação característica associada a equação diferencial y^prime prime+5 y^prime+6 y=0 :
Escolha uma opção:
r^2+5=0
2 r^2-3 r+1=0
r^2+3 r+2=0
r^2+5 r+6=0
Nenhuma das demais alternativas
6 r^2-r-1=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a equação característica associada à equação diferencial y'' + 5y' + 6y = 0 . Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender como transformar a equação diferencial em uma equação algébrica, chamada de equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma equação diferencial linear com coeficientes constantes, assumimos que a solução tem a forma y = e^r x , onde r é um número que vamos determinar.

Passo 3

Com essa suposição, calculamos as derivadas de y :
  • A primeira derivada é y' = r e^r x .
  • A segunda derivada é y'' = r^2 e^r x .

Passo 4

Agora, substituímos y , y' e y'' na equação diferencial original:
r^2 e^r x + 5r e^r x + 6 e^r x = 0

Passo 5

Como e^r x nunca é zero, podemos dividir toda a equação por e^r x :
r^2 + 5r + 6 = 0

Passo 6

Essa é a equação característica que precisamos encontrar.

Resposta

A equação característica é r^2 + 5r + 6 = 0 .

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