Beleza! Vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. A gente tem a equação y'' - y = 0 com as condições iniciais y(0) = 54 e y'(0) = -34 . A matéria aqui é sobre equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar resolver a equação característica e usar as condições iniciais para encontrar os coeficientes da solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea y'' - y = 0 . Para isso, criamos a equação característica associada:
r^2 - 1 = 0
Passo 3
Resolvendo a equação característica r^2 - 1 = 0 , encontramos as raízes:
r^2 = 1 implies r = pm 1
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas ( r1 = 1 e r2 = -1 ), a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^t + C2 e^-t
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de C1 e C2 .
Primeiro, aplicamos y(0) = 54 :
y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 = C1 + C2 = 54
Passo 6
Em seguida, calculamos a derivada de y(t) para usar a segunda condição y'(0) = -34 :
y'(t) = C1 e^t - C2 e^-t
Aplicando t = 0 :
y'(0) = C1 - C2 = -34
Passo 7
Agora temos um sistema de equações:
C1 + C2 = 54 C1 - C2 = -34
Vamos somar as duas equações para encontrar 2C1 = 54 - 34 = 24 = 12 , então C1 = 14 .
Passo 8
Substituindo C1 = 14 na primeira equação:
14 + C2 = 54 implies C2 = 54 - 14 = 1
Passo 9
Agora que encontramos C1 = 14 e C2 = 1 , substituímos esses valores na solução geral:
y(t) = 14 e^t + e^-t
Resposta
A solução do problema de valor inicial é y(t) = e^t4 - e^-t .