Encontre a solução do problema de valor inicial:
l 4 y^prime prime-y=0 y(-2)=1 y^prime(-2)=-1
Escolha uma opção:
y=13+5 raiz1326 exp [(raiz13-5) t2]+13-5 raiz1326 exp [-(raiz13+5) t2]
y=2raiz33 exp [(raiz33-1) t4]-2raiz33 exp [(-raiz33-1) t4]
Nenhuma das demais alternativas
y=e^9(1-t)+9 e^t-110
y=52 e^-t-12 e^-3 t
y=3 e^-t+22-e^t+222

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é 4y'' - y = 0, e sabemos que y(-2) = 1 e y'(-2) = -1. Vamos resolver isso passo a passo usando conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas e condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial 4y'' - y = 0. Para isso, assumimos soluções da forma y = e^rt, onde r é uma constante que precisamos determinar.

Passo 3

Substituindo y = e^rt na equação diferencial, temos:
4r^2 e^rt - e^rt = 0
Podemos factorar e^rt (que nunca é zero):
e^rt(4r^2 - 1) = 0
Isso nos dá a equação característica:
4r^2 - 1 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação característica 4r^2 - 1 = 0:
4r^2 = 1 implies r^2 = 14 implies r = pm 12
Então, as raízes são r1 = 12 e r2 = -12.

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^t2 + C2 e^-t2
onde C1 e C2 são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar C1 e C2.
Primeiro, usamos y(-2) = 1:
1 = C1 e^-22 + C2 e^22 implies 1 = C1 e^-1 + C2 e^1

Passo 7

Em seguida, derivamos y(t) para encontrar y'(t):
y'(t) = 12 C1 e^t2 - 12 C2 e^-t2
Usamos a condição y'(-2) = -1:
-1 = 12 C1 e^-22 - 12 C2 e^22 implies -1 = 12 C1 e^-1 - 12 C2 e^1

Passo 8

Agora temos um sistema de equações:
C1 e^-1 + C2 e^1 = 1 12 C1 e^-1 - 12 C2 e^1 = -1
Multiplicamos a segunda equação por 2 para simplificar:
C1 e^-1 - C2 e^1 = -2
Agora, temos:
C1 e^-1 + C2 e^1 = 1 C1 e^-1 - C2 e^1 = -2

Passo 9

Somando as duas equações para eliminar C2:
2 C1 e^-1 = -1 implies C1 e^-1 = -12 implies C1 = -12 e

Passo 10

Substituindo C1 = -12 e na primeira equação:
-12 e cdot e^-1 + C2 e^1 = 1 implies -12 + C2 e = 1 implies C2 e = 32 implies C2 = 32 e

Passo 11

Agora, substituímos C1 e C2 na solução geral:
y(t) = -12 e cdot e^t2 + 32 e e^-t2
Simplificando:
y(t) = -12 e^t + 12 + 32 e e^-t2

Resposta

y(t) = 3 e^-t+22 - e^t+222

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