Beleza, vamos lá! Temos um problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é 4y'' - y = 0, e sabemos que y(-2) = 1 e y'(-2) = -1. Vamos resolver isso passo a passo usando conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas e condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial 4y'' - y = 0. Para isso, assumimos soluções da forma y = e^rt, onde r é uma constante que precisamos determinar.
Passo 3
Substituindo y = e^rt na equação diferencial, temos:
4r^2 e^rt - e^rt = 0
Podemos factorar e^rt (que nunca é zero):
e^rt(4r^2 - 1) = 0
Isso nos dá a equação característica:
4r^2 - 1 = 0
Passo 4
Resolvendo a equação característica 4r^2 - 1 = 0:
4r^2 = 1 implies r^2 = 14 implies r = pm 12
Então, as raízes são r1 = 12 e r2 = -12.
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^t2 + C2 e^-t2
onde C1 e C2 são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar C1 e C2.