Determine a equação característica associada a equação diferencial
:
Escolha uma opção:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada:
. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e equações características. Basicamente, a equação característica nos ajuda a encontrar soluções da equação diferencial assumindo que as soluções são da forma
, onde
é um número que precisamos descobrir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para transformar a equação diferencial em sua equação característica, substituímos as derivadas de
por potências de
. Especificamente:
- $y’ $ vira $ r \cdot e^{rt} $
-
vira $ r^2 \cdot e^{rt} $
Mas como estamos procurando uma equação para
, podemos ignorar o fator $ e^{rt} $ (que nunca é zero) e focar apenas nos coeficientes de
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa equação diferencial:
Substituindo as derivadas:
Dividindo todos os termos por $ e^{rt} $:
Essa é a equação característica associada à equação diferencial dada.
Resposta
A equação característica é
.