Determine a equação característica associada a equação diferencial 6 y^prime prime-y^prime-y=0 :
Escolha uma opção:
6 r^2+r+1=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada: 6 y'' - y' - y = 0. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e equações características. Basicamente, a equação característica nos ajuda a encontrar soluções da equação diferencial assumindo que as soluções são da forma y = e^rt, onde r é um número que precisamos descobrir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para transformar a equação diferencial em sua equação característica, substituímos as derivadas de y por potências de r. Especificamente:
  • $y’ $ vira $ r \cdot e^{rt} $
  • y' vira $ r^2 \cdot e^{rt} $
Mas como estamos procurando uma equação para r cdot e^rt , podemos ignorar o fator $ e^{rt} $ (que nunca é zero) e focar apenas nos coeficientes de y''.

Passo 3

Aplicando isso à nossa equação diferencial:
6 y'' - y' - y = 0
Substituindo as derivadas:
6 (r^2 e^rt) - r e^rt - e^rt = 0
Dividindo todos os termos por $ e^{rt} $:
e^rt
Essa é a equação característica associada à equação diferencial dada.

Resposta

A equação característica é 6 r^2 - r - 1 = 0.

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