Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 5y = 0
O conteúdo é o método da equação característica, que consiste em assumir uma solução do tipo y=e^{rx} para encontrar os valores de r e depois montar a solução geral.

Passo 2

Assumindo y=e^{rx}, temos
y' = r e^{rx},\quad y'' = r^2 e^{rx}.
Substituindo na EDO original e dividindo por e^{rx}\neq0, obtemos a equação característica em r:
r^2 - 4r + 5 = 0.

Passo 3

Para resolver
r^2 - 4r + 5 = 0
calculamos o discriminante
\Delta = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot5 = 16 - 20 = -4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = 2 \pm i.

Passo 4

Quando as raízes da característica são r_{1,2} = \alpha \pm i\beta com \alpha=2 e \beta=1, a solução geral da EDO é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)\bigr).
Substituindo \alpha=2 e \beta=1, fica
y(x) = e^{2x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr).

Resposta

A equação característica é r^2 - 4r + 5 = 0, cujas raízes são r=2\pm i, e a solução geral é
y(x) = e^{2x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr).

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