Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
3 y^{\prime \prime}+y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
3\,y'' + y = 0.
O conteúdo aqui é o método da equação característica, que consiste em supor uma solução do tipo y = e^{r x} e obter um polinômio em r.

Passo 2

Supondo y = e^{r x}, temos y' = r\,e^{r x} e y'' = r^2\,e^{r x}. Substituindo em 3\,y'' + y = 0,
3\,(r^2\,e^{r x}) + e^{r x} = 0 \quad\Longrightarrow\quad e^{r x}\,(3r^2 + 1) = 0.
Como e^{r x}\neq0, a equação característica é
3r^2 + 1 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
3r^2 + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = -\tfrac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad r = \pm \frac{i}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas r = \pm i/\sqrt{3}, a solução geral real da EDO é
y(x) = C_{1}\,\cos\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{3}}\bigr) + C_{2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{3}}\bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

\boxed{y(x) = C_{1}\,\cos\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{3}}\bigr) + C_{2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{3}}\bigr).}

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