Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
2 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
2\,y'' + 2\,y' + y = 0
O conteúdo é solução de EDs lineares homogêneas usando a equação característica. Vamos precisar:
  1. Formular a equação característica.
  2. Encontrar suas raízes.
  3. Escrever a solução geral a partir das raízes.

Passo 2

Para montar a equação característica, assumimos solução da forma y=e^{r x}. Substituindo em 2\,y''+2\,y'+y=0 obtemos
2\,r^2 e^{r x} + 2\,r e^{r x} + 1\cdot e^{r x} = 0
Cancelando o fator comum e^{r x}\neq0, resulta
2\,r^2 + 2\,r + 1 = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante da equação quadrática 2\,r^2+2\,r+1=0:
\Delta = 2^2 - 4\cdot2\cdot1 = 4 - 8 = -4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2\cdot2} = \frac{-2 \pm 2\,i}{4} = -\tfrac12 \pm \tfrac{i}{2}.

Passo 4

Para raízes r = \alpha \pm i\beta com \alpha=-\tfrac12 e \beta=\tfrac12, a solução geral é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_{1}\cos(\beta x) + C_{2}\sin(\beta x)\bigr).
Substituindo \alpha e \beta, obtém-se
y(x) = e^{-x/2}\Bigl(C_{1}\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C_{2}\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\Bigr).

Resposta

y(x) = e^{-x/2}\Bigl(C_{1}\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C_{2}\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\Bigr).

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