Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
3 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
3\,y'' + 2\,y' + y = 0
e pede que encontremos a equação característica, suas raízes e a solução geral. Para isso, vamos assumir uma solução da forma y(x)=e^{r x}.

Passo 2

Substituindo y(x)=e^{r x} na equação diferencial, obtemos
3\bigl(r^2 e^{r x}\bigr) + 2\bigl(r e^{r x}\bigr) + 1\bigl(e^{r x}\bigr) = 0.
Como e^{r x}\neq 0, a parte que nos interessa é a equação característica
3r^2 + 2r + 1 = 0.

Passo 3

Para resolver
3r^2 + 2r + 1 = 0
calculamos o discriminante
\Delta = 2^2 - 4\cdot3\cdot1 = 4 - 12 = -8.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{-2 \pm i\sqrt{8}}{6} = -\frac{1}{3} \pm i\,\frac{\sqrt{2}}{3}.

Passo 4

Quando as raízes são da forma
\displaystyle r = \alpha \pm i\beta,
a solução geral da EDO é
y(x) = e^{\alpha x}\Bigl(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)\Bigr).
Aqui \alpha = -\tfrac{1}{3} e \beta = \tfrac{\sqrt{2}}{3}.

Resposta

Equação característica:
3r^2 + 2r + 1 = 0.
Raízes:
r = -\tfrac{1}{3} \pm i\,\tfrac{\sqrt{2}}{3}.
Solução geral:
y(x) = e^{-x/3}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{3}x\bigr) + C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{3}x\bigr)\Bigr).

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