Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
4 y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4\,y'' + y' = 0
e pede (a) a equação característica, (b) suas raízes e (c) a solução geral. Vamos usar o método da equação característica, supondo y=e^{r x}.

Passo 2

Substituindo y=e^{r x} na equação original, temos
y' = r\,e^{r x},\quad y''=r^2 e^{r x}
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4\,r^2 e^{r x} + r\,e^{r x} = e^{r x}\bigl(4r^2 + r\bigr)=0.
Como e^{r x}\neq0, a equação característica é
4r^2 + r = 0.

Passo 3

Para encontrar as raízes, fatoramos
4r^2 + r = r(4r+1)=0,
portanto
r_1 = 0,\quad r_2 = -\tfrac14.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} = C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{-x/4} = C_1 + C_2 e^{-x/4},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitárias.

Resposta

y(x) = C_1 + C_2 e^{-x/4}.

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