Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
2 y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes,
2y'' - 3y' + 4y = 0.
O que vamos fazer é assumir uma solução da forma exponencial y = e^{rx}, obter a equação característica em r, encontrar suas raízes e, a partir delas, escrever a solução geral.

Passo 2

Assumindo y = e^{rx}, calcula-se
y' = r e^{rx}, \quad y'' = r^2 e^{rx}.
Substituindo na ODE e dividindo por e^{rx}\neq0, obtemos a equação característica
2r^2 - 3r + 4 = 0.

Passo 3

Para resolver
2r^2 - 3r + 4 = 0
calcula-se o discriminante:
\Delta = (-3)^2 - 4\cdot2\cdot4 = 9 - 32 = -23.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{3}{4} \pm i\,\frac{\sqrt{23}}{4}.

Passo 4

Quando as raízes são r = \alpha \pm i\beta, com \alpha = \tfrac{3}{4} e \beta = \tfrac{\sqrt{23}}{4}, a solução geral da ODE é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)\bigr).
Substituindo \alpha e \beta, chega-se a
y(x) = e^{\frac{3}{4}x}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{23}}{4}x\bigr) + C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{23}}{4}x\bigr)\Bigr).

Resposta

A equação característica é
2r^2 - 3r + 4 = 0,
suas raízes são
r = \frac{3}{4} \pm i\,\frac{\sqrt{23}}{4},
e a solução geral é
y(x) = e^{\frac{3}{4}x}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{23}}{4}x\bigr) + C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{23}}{4}x\bigr)\Bigr).

Exercícios relacionados