Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
2 y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2y'' - 5y' = 0,
e pede que encontremos a equação característica, suas raízes e a solução geral. Para isso, usamos o método de tentar y=e^{r x}.

Passo 2

Assumindo y=e^{r x}, vem
y' = r e^{r x}, \quad y'' = r^2 e^{r x}.
Substituindo na EDO:
2r^2 e^{r x} - 5r e^{r x} = 0.
Como e^{r x}\neq0, a equação característica é
2r^2 - 5r = 0.

Passo 3

Fatorando a característica:
r(2r - 5) = 0
logo as raízes são
r_1 = 0, \quad r_2 = \frac{5}{2}.

Passo 4

Para raízes reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} = C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{\frac{5}{2}x} = C_1 + C_2 e^{\frac{5}{2}x}.

Resposta

Equação característica: 2r^2 - 5r = 0.
Raízes: r_1=0, r_2=\tfrac{5}{2}.
Solução geral:
y(x) = C_1 + C_2 e^{\frac{5}{2}x}.

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