Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
y^{\prime \prime}-8 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 8\,y = 0.
O conteúdo aqui é EDO linear homogênea de segunda ordem e vamos usar a técnica da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma \mathrm e^{r x}. Substituindo em y''-8y=0 obtemos a equação característica
r^2 - 8 = 0.

Passo 3

Resolvendo
r^2 - 8 = 0
vem
r = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt2.

Passo 4

Como as raízes r_1 = 2\sqrt2 e r_2 = -2\sqrt2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_1\,e^{2\sqrt2\,x} + C_2\,e^{-2\sqrt2\,x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_1\,e^{2\sqrt2\,x} + C_2\,e^{-2\sqrt2\,x}.

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