Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-5 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' - 5y = 0.
O conteúdo aqui é a técnica de equação característica: vamos propor uma solução exponencial, obter a equação algébrica para o expoente, resolver essa equação e depois montar a solução geral.

Passo 2

Para encontrar a equação característica, substituímos
y(x) = e^{\lambda x},
então
y' = \lambda e^{\lambda x}, \quad y'' = \lambda^2 e^{\lambda x}.
Substituindo na EDO e dividindo por e^{\lambda x}\neq0, obtemos
\lambda^2 + 3\lambda - 5 = 0.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de Bhaskara à equação
\lambda^2 + 3\lambda - 5 = 0.
O discriminante é
\Delta = 3^2 - 4\cdot1\cdot(-5) = 9 + 20 = 29.
Logo as raízes são
\lambda_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}.

Passo 4

Como as duas raízes \lambda_1 e \lambda_2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x},
onde
\lambda_1 = \frac{-3 + \sqrt{29}}{2}, \quad \lambda_2 = \frac{-3 - \sqrt{29}}{2},
e C_1,\;C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

Equação característica:
\lambda^2 + 3\lambda - 5 = 0.
Raízes:
\lambda_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}.
Solução geral:
y(x) = C_1 e^{\frac{-3 + \sqrt{29}}{2}\,x} + C_2 e^{\frac{-3 - \sqrt{29}}{2}\,x}.

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