Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
8 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
8\,y'' + 2\,y' - y = 0.
O método consiste em assumir uma solução do tipo y=e^{r x}, obter a equação característica, encontrar as raízes r e, a partir delas, escrever a solução geral.

Passo 2

Substituindo y=e^{r x} na equação, temos
8\,(r^2 e^{r x}) + 2\,(r e^{r x}) - 1\cdot e^{r x} = 0
e, como e^{r x}\neq0, a equação característica é
8r^2 + 2r - 1 = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante
\Delta = 2^2 - 4\cdot8\cdot(-1) = 4 + 32 = 36,
de onde as raízes são
r = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2\cdot8} = \frac{-2 \pm 6}{16}.
Assim,
r_1 = \frac{-2 + 6}{16} = \frac{4}{16} = \frac14, \quad r_2 = \frac{-2 - 6}{16} = \frac{-8}{16} = -\tfrac12.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_1\,e^{r_1 x} + C_2\,e^{r_2 x} = C_1\,e^{\tfrac{x}{4}} + C_2\,e^{-\tfrac{x}{2}},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C_1\,e^{\tfrac{x}{4}} + C_2\,e^{-\tfrac{x}{2}}.

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