Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y^{\prime\prime\prime}+3\,y^{\prime\prime}+3\,y^{\prime}+y=0.
O conteúdo aqui é usar o método do polinômio característico: supomos uma solução do tipo y=e^{r x} e construímos a equação algébrica em r.

Passo 2

Substituindo y=e^{r x} na equação, cada derivada traz um fator r, e obtemos o polinômio característico
r^{3}+3\,r^{2}+3\,r+1=0.
Reconhecemos que esse é o desenvolvimento de (r+1)^{3}, logo
r^{3}+3r^{2}+3r+1=(r+1)^{3}.

Passo 3

Da fatoração (r+1)^{3}=0 segue que a única raiz é
r=-1,
com multiplicidade 3. Para uma raiz real de multiplicidade m, a solução geral é da forma
y(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x+\cdots+C_{m}x^{m-1}\bigr)e^{r x}.
Aqui m=3 e r=-1, logo

Resposta

y(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}\,x+C_{3}\,x^{2}\bigr)e^{-x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

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