Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+12 y^{\prime}-8 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial linear de ordem três com coeficientes constantes
y''' - 6y'' + 12y' - 8y = 0.
Para resolver, vamos usar o método de tentativa de solução exponencial y=e^{r x}, que leva à chamada equação característica.

Passo 2

Substituindo y=e^{r x} e suas derivadas na equação diferencial, obtemos
r^3 e^{r x} - 6r^2 e^{r x} + 12r e^{r x} - 8 e^{r x} = 0.
Como e^{r x}\neq0, a equação característica é
r^3 - 6r^2 + 12r - 8 = 0.

Passo 3

Para encontrar as raízes de
r^3 - 6r^2 + 12r - 8 = 0,
testamos r=2:
2^3 - 6\cdot2^2 + 12\cdot2 - 8 = 8 - 24 + 24 - 8 = 0,
logo r=2 é raiz. Fazendo a divisão polinomial, fatoramos
r^3 - 6r^2 + 12r - 8 = (r-2)\bigl(r^2 -4r +4\bigr) = (r-2)^3.
Portanto, a única raiz é
r = 2
com multiplicidade 3.

Passo 4

Quando uma raiz r de multiplicidade 3 aparece na característica, a solução geral é dada por
y(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x + C_3\,x^2\bigr)e^{2x},
onde C_1, C_2 e C_3 são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação
y''' - 6y'' + 12y' - 8y = 0
é
y(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x + C_3\,x^2\bigr)e^{2x}.

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