Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
y^{\prime \prime}+9 y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 9y = 0
O conteúdo é resolução de EDOs constantes usando a equação característica.

Passo 2

Adotamos a forma de tentativa y=e^{rx}. Substituindo na equação obtém-se
r^2 e^{rx} + 9\,e^{rx} = 0
Como e^{rx}\neq0, a equação característica é
r^2 + 9 = 0

Passo 3

Resolvendo
r^2 = -9
vem
r = \pm 3i
São raízes complexas conjugadas com parte real zero e parte imaginária \pm3.

Passo 4

Para raízes r=\alpha\pm\beta i a solução geral real é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr).
Aqui \alpha=0 e \beta=3, logo
y(x) = C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x).

Resposta

Equação característica:
r^2 + 9 = 0
Raízes:
r = \pm 3i
Solução geral:
y(x) = C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x).

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