Determine a equação característica para cada ED abaixo e encontre suas raízes:
d^3 xd t^3-d^2 xd t^2-4 x=0

Passo 1

O enunciado pede a equação característica e as raízes da EDO de terceira ordem
d^3xdt^3 ;-;d^2xdt^2;-;4x ;=;0
O conteúdo é o método de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes: assumimos x(t)=e^rt e obtemos um polinômio em r.

Passo 2

Substituindo x(t)=e^rt, temos
d^3xdt^3=r^3e^rt, d^2xdt^2=r^2e^rt, x=e^rt
Logo a EDO vira
r^3e^rt-r^2e^rt-4e^rt=0
Como e^rtneq0, a equação característica é
r^3-r^2-4=0

Passo 3

Para encontrar as raízes, aplicamos o Teorema das Raízes Racionais: candidatos pm1,pm2,pm4. Testando r=2:
2^3-2^2-4=8-4-4=0,
logo r=2 é uma raiz.

Passo 4

Fatorizamos o polinômio dividindo por (r-2). Escrevemos
r^3-r^2-4 = (r-2)(r^2+ar+b)
Expandindo e igualando coeficientes chega-se a a=1, b=2. Assim
r^3-r^2-4=(r-2)l(r^2+r+2r)

Passo 5

As raízes do fator quadrático vêm da fórmula de Bhaskara:
r^2+r+2=0 ;Longrightarrow; r=-1pmraiz1-82 =-1pm iraiz72

Resposta

A equação característica é
r^3-r^2-4=0,
cuja fatoração e raízes são
(r-2)l(r^2+r+2r)=0 Longrightarrow r1=2, r2,3=-1pm iraiz72

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