Determine a equação característica para cada ED abaixo e encontre suas raízes:
2 y^prime prime+2 y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede a equação característica e as raízes da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2,y'' + 2,y' + y = 0
O conteúdo é resolução de EDOs lineares homogêneas de ordem 2, usando a hipótese de solução do tipo y=e^r x.

Passo 2

Assumimos y=e^r x. Então
y' = r e^r x, y'' = r^2 e^r x
Substituindo na EDO, obtemos
2(r^2 e^r x) + 2(r e^r x) + 1cdot(e^r x) = 0
e como e^r xneq0, a equação característica é
2r^2 + 2r + 1 = 0

Passo 3

Para resolver
2r^2 + 2r + 1 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
De<a = (2)^2 - 4cdot2cdot1 = 4 - 8 = -4
Logo as raízes são
r = -2 pm raiz-42cdot2 = -2 pm 2,i4 = -12 pm i2

Resposta

Equação característica:
2r^2 + 2r + 1 = 0
Raízes:
r1,2 = -tfrac12 pm tfraci2

Exercícios relacionados