Utilize Integração por Partes para calcular as integrais a seguir.
(g) integral t^2 sen(beta t) d t;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral t^2sin(beta t),dt
usando o método de integração por partes. Vamos aplicar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
de forma a reduzir o grau do polinômio em t.

Passo 2

Escolhemos
u = t^2, dv = sin(beta t),dt
Então
du = 2t,dt, v = integral sin(beta t),dt = -cos(beta t)beta
Pela fórmula de partes,
integral t^2sin(beta t),dt = u,v - integral v,du = -t^2cos(beta t)beta - integrall(-cos(beta t)betar),2t,dt
Isso dá
integral t^2sin(beta t),dt = -t^2cos(beta t)beta +2betaintegral tcos(beta t),dt

Passo 3

Agora vamos calcular
J = integral tcos(beta t),dt
também por partes, escolhendo
u = t, dv = cos(beta t),dt
Então
du = dt, v = integral cos(beta t),dt = sin(beta t)beta
Logo,
J = u,v - integral v,du = tsin(beta t)beta - integral sin(beta t)beta,dt = tsin(beta t)beta - 1betal(-cos(beta t)betar)
Isto é,
J = tsin(beta t)beta +cos(beta t)beta^2

Passo 4

Substituindo J em nossa expressão principal, temos
integral t^2sin(beta t),dt = -t^2cos(beta t)beta +2betal(tsin(beta t)beta +cos(beta t)beta^2r) + C
Distribuindo as constantes,
integral t^2sin(beta t),dt = -t^2cos(beta t)beta +2tsin(beta t)beta^2 +2cos(beta t)beta^3 + C

Resposta

boxed integral t^2sin(beta t),dt = -t^2cos(beta t)beta +2tsin(beta t)beta^2 +2cos(beta t)beta^3 + C

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