Determine a equação característica para cada ED abaixo e encontre suas raízes:
d^5 xd s^5-2 d^4 xd s^4+16 d^2 xd s^2=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de ordem 5 com coeficientes constantes
d^5xds^5 ;-; 2,d^4xds^4 ;+; 16,d^2xds^2 ;=;0
e pede a equação característica e suas raízes. Vamos usar o método do ansatz x(s)=e^r s.

Passo 2

Substituindo x(s)=e^r s na equação e usando que tfracd^kxds^k=r^ke^r s, obtemos
r^5e^r s ;-;2,r^4e^r s ;+;16,r^2e^r s ;=;0
Como e^r sneq0, a equação característica é
r^5-2,r^4+16,r^2=0

Passo 3

Fatorando r^2 em evidência, temos
r^2l(r^3-2,r^2+16r)=0
Dessa forma, duas raízes são
r=0(mu<iplicidade 2)
e as demais são as raízes do polinômio cúbico
r^3-2,r^2+16=0

Passo 4

Pelo Teorema das Raízes Racionais testamos r=-2 e vemos que
(-2)^3-2(-2)^2+16=-8-8+16=0,
logo r=-2 é raiz. Fazendo divisão de polinômio, obtém-se
r^3-2r^2+16=(r+2)l(r^2-4r+8r)
As raízes de r^2-4r+8=0 vêm da fórmula de Bhaskara:
r=4pmraiz16-322=4pm4i2=2pm2i

Resposta

A equação característica é
r^5-2r^4+16r^2=0,
e as suas raízes são
r=0;(mu<iplicidade 2), r=-2, r=2+2i, r=2-2i

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