Utilize Decomposição em Frações Parciais para calcular as integrais abaixo.
(a) integral 5(x-1)(x+4) d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral 5(x-1)(x+4),dx
O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais de uma função racional, seguida da integração de termos da forma tfrac1x-a. Lembrando que
integral dxx-a = ln|x-a| + C

Passo 2

Procuramos constantes A e B tais que
5(x-1)(x+4) =Ax-1+Bx+4
Multiplicando por (x-1)(x+4), obtemos
5 = A(x+4) + B(x-1)

Passo 3

Escolhemos valores de x que simplifiquem:
para x=1,
5 = A(1+4) Longrightarrow A=1
para x=-4,
5 = B(-4-1) Longrightarrow B=-1

Passo 4

Substituindo A e B, o integrando fica
5(x-1)(x+4) =1x-1-1x+4
Integramos termo a termo:
integral 5(x-1)(x+4),dx =integral dxx-1 -integral dxx+4 =ln|x-1|-ln|x+4|+C

Resposta

lnl|x-1x+4r|+C

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