Determine a equação característica para cada ED abaixo e encontre suas raízes:
y^prime prime+4 y^prime-y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a equação característica e as raízes da EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes dada por y'' + 4y' - y = 0. Vamos usar o método de suposição de solução exponencial.

Passo 2

Supondo uma solução do tipo y(t) = e^rt, então y' = re^rt e y'' = r^2 e^rt. Substituindo na equação diferencial, todos os termos têm fator comum e^rt (não nulo), o que gera a equação característica:
r^2 + 4r - 1 = 0

Passo 3

Para encontrar as raízes de r^2 + 4r - 1 = 0, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
r = -4 pm raiz4^2 - 4 cdot 1 cdot (-1)2 cdot 1 = -4 pm raiz16 + 42 = -4 pm raiz202 = -4 pm 2raiz52 = -2 pm raiz5

Resposta

A equação característica é r^2 + 4r - 1 = 0 e as suas raízes são r1 = -2 + raiz5 e r2 = -2 - raiz5.

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