Determine a equação característica para cada ED abaixo e encontre suas raízes:
d^3 ud t^3+d^2 ud t^2-2 u=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a equação característica da EDO de terceira ordem
d^3udt^3 + d^2udt^2 - 2,u = 0
e suas raízes. Aqui o conteúdo envolve EDOs lineares homogêneas de coeficientes constantes e o método de solução por u(t)=e^rt.

Passo 2

Supondo u(t)=e^rt, temos
u' = r,e^rt, u'' = r^2e^rt, u''' = r^3e^rt
Substituindo na EDO e dividindo por e^rtneq0, obtemos a equação característica:
r^3+r^2-2 = 0

Passo 3

Testando r=1 em r^3+r^2-2 1+1-2=0, logo (r-1) é fator. Fazendo a divisão polinomial:
r^3+r^2-2 = (r-1),(r^2+2r+2)
Resolvendo r^2+2r+2=0 pela fórmula de Bhaskara,
r = -2pmraiz4-82 = -1pm i
Portanto, as raízes são r=1, r=-1+i e r=-1-i.

Resposta

Equação característica:
r^3+r^2-2 = 0
Raízes:
r = 1, r = -1 + i, r = -1 - i.

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