Quais das seguintes integrais abaixo são impróprias? Por quê?
(c) integral-1^3 1x^3+x d x

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Temos a integral
integral-1^31x^3+x,dx
e queremos ver se ela é imprópria. Para isso, vamos verificar se a função integranda fica descontínua em algum ponto do intervalo de integração ou se algum dos limites é infinito.

Passo 2

Análise do domínio da integranda
Escrevendo
1x^3+x=1x,(x^2+1)
vemos que o denominador se anula quando x=0 ou x^2+1=0. As raízes de x^2+1=0 são imaginárias, mas x=0 é real.

Passo 3

Identificação da descontinuidade em x=0
O ponto x=0 pertence ao intervalo [-1,3], logo a função
f(x)=1x^3+x
não está definida em um ponto interior ao intervalo de integração. Isso caracteriza uma integral imprópria por descontinuidade interna.

Passo 4

Forma de tratar a integral imprópria
Para realmente calcular (ou definir) essa integral teríamos de separar em duas integrais com limite:
integral-1^31x^3+x,dx =limtto0^-integral-1^t1x^3+x,dx +limsto0^+integrals^31x^3+x,dx

Resposta

A integral
integral-1^31x^3+x,dx
é imprópria porque a função integranda tem uma singularidade (denominador zero) em x=0, que está dentro do intervalo de integração.

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