Quais das seguintes integrais abaixo são impróprias? Por quê?
(c)
(c)
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo
Temos a integral
Temos a integral
e queremos ver se ela é imprópria. Para isso, vamos verificar se a função integranda fica descontínua em algum ponto do intervalo de integração ou se algum dos limites é infinito.
Passo 2
Análise do domínio da integranda
Escrevendo
Escrevendo
vemos que o denominador se anula quando
ou
. As raízes de
são imaginárias, mas
é real.
Passo 3
Identificação da descontinuidade em
O ponto pertence ao intervalo
, logo a função
O ponto
não está definida em um ponto interior ao intervalo de integração. Isso caracteriza uma integral imprópria por descontinuidade interna.
Passo 4
Forma de tratar a integral imprópria
Para realmente calcular (ou definir) essa integral teríamos de separar em duas integrais com limite:
Para realmente calcular (ou definir) essa integral teríamos de separar em duas integrais com limite:
Resposta
A integral
é imprópria porque a função integranda tem uma singularidade (denominador zero) em
, que está dentro do intervalo de integração.