Determine a equação característica para cada ED abaixo e encontre suas raízes:
y^(4)-2 y^prime prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para estudar a equação diferencial linear de coeficientes constantes
y^(4) - 2y'' + y = 0
e determinar sua equação característica e as raízes dessa equação. Para isso, vamos usar o método da solução do tipo y=e^rx, que transforma a EDO numa equação algébrica em r.

Passo 2

Assumindo y=e^rx, temos
y' = r e^rx, y''=r^2e^rx, y^(4)=r^4e^rx
Substituindo na EDO original e dividindo por e^rxneq0, obtemos a equação característica:
r^4 - 2r^2 + 1 = 0

Passo 3

Para resolver
r^4 - 2r^2 + 1 = 0
fazemos a mudança de variável s = r^2. Assim a equação vira
s^2 - 2s + 1 = 0,
que é um quadrado perfeito.

Passo 4

A equação em s é
(s - 1)^2 = 0,
logo s = 1 com multiplicidade 2. Voltando a r, isso significa
r^2 = 1 Longrightarrow r = pm 1
E como s=1 é dupla, cada um desses valores aparece com multiplicidade 2.

Resposta

Equação característica:
r^4 - 2r^2 + 1 = 0 Long<=ftrightarrow (r^2 - 1)^2 = 0
Raízes:
r = 1(mu<iplicidade 2), r = -1(mu<iplicidade 2)

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