Utilize Decomposição em Frações Parciais para calcular as integrais abaixo.
(g) integral 3 x^2+12 x-20x^4-8 x^2+16 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 3x^2+12x-20x^4-8x^2+16,dx
usando decomposição em frações parciais. Aqui o conteúdo é integração de função racional por frações parciais, e vamos precisar fatorar o denominador e depois achar os coeficientes da decomposição.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador:
x^4-8x^2+16 = (x^2-4)^2 = (x-2)^2(x+2)^2
Logo podemos escrever
3x^2+12x-20(x-2)^2(x+2)^2 =Ax-2+B(x-2)^2+Cx+2+D(x+2)^2

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-2)^2(x+2)^2 e obtemos a identidade
3x^2+12x-20 = A(x-2)(x+2)^2 + B,(x+2)^2 + C(x+2)(x-2)^2 + D,(x-2)^2
Para achar B e D basta avaliar em x=2 e x=-2:
Em x=2: 3cdot4+24-20=16 e só sobrevive o termo B,(2+2)^2=16B, logo 16=16BRightarrow B=1.
Em x=-2: 3cdot4-24-20=-32 e só sobrevive D,(-2-2)^2=16D, logo -32=16DRightarrow D=-2.

Passo 4

Para achar A e C podemos igualar coeficientes em x^3. Do lado direito o coeficiente de x^3 é A+C, e do lado esquerdo é 0, então
A+C=0Longrightarrow C=-A
Igualando coeficiente de x^2, do lado esquerdo ele vale 3, e do direito é
2A +1 -2C -2 =4A-1,
portanto 4A-1=3Rightarrow A=1. Assim C=-1.

Passo 5

Substituindo A=1, B=1, C=-1, D=-2 na decomposição, a integral fica
integral!l(1x-2+1(x-2)^2-1x+2-2(x+2)^2r),dx
Integramos termo a termo:
integral1x-2,dx=lnlvert x-2rvert, integral1(x-2)^2,dx=-1x-2,
integral!l(-1x+2r),dx=-lnlvert x+2rvert, integral!l(-2(x+2)^2r),dx=21x+2

Resposta

integral 3x^2+12x-20x^4-8x^2+16,dx =ln!llvertx-2x+2rrvert -1x-2 +2x+2 + C

Exercícios relacionados