Determine se as seguintes integrais impróprias são convergentes ou divergentes encontre o valor das convergentes.
(a) integral1^infty 2 x^-3 d x;

Passo 1

Estamos com uma integral imprópria do tipo infinito, mais precisamente integral1^infty2x^-3,dx. O conteúdo aqui é integral imprópria em que o limite superior é infinito e vamos precisar usar o conceito de limite para integral definida e a fórmula de antiderivada de potência.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a integral como um limite:
integral1^infty2x^-3,dx = limbtoinftyintegral1^b2x^-3,dx
Isso deixa claro que precisamos avaliar a antiderivada entre 1 e b e depois fazer btoinfty.

Passo 3

Agora, calculamos a antiderivada de 2x^-3 usando a regra de potência integral x^n,dx = x^n+1n+1 (para nneq -1). Aqui n=-3, então
integral2x^-3,dx = 2cdotx^-2-2 = -x^-2

Passo 4

Substituímos na expressão de limite:
limbtoinftyl[-x^-2r]1^b = limbtoinftyl(-b^-2 - ( -1^-2)r) = limbtoinftyl(-b^-2 +1r)
Como b^-2to0 quando btoinfty, o resultado é 1.

Passo 5

Portanto, o limite existe e é finito, logo a integral converge e seu valor é 1.

Resposta

Converge e vale 1.

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