Determine se as seguintes integrais impróprias são convergentes ou divergentes encontre o valor das convergentes.
(e)
;
(e)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a integral imprópria
verificando se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular o seu valor. O conteúdo é análise de convergência de integrais impróprias e uso de primitiva envolvendo arctangente.
Passo 2
Para testar a convergência, note que, para
grande,
Como a integral
é convergente (é uma p-integral com
), pelo teste de comparação a nossa integral também converge.
Passo 3
Agora encontramos uma primitiva de
. Usamos que
Aqui
, logo
Passo 4
Avaliamo a integral imprópria como limite:
Como
, vem
Resposta
A integral converge e vale