Determine se as seguintes integrais impróprias são convergentes ou divergentes encontre o valor das convergentes.
(e) integral1^infty 1x^2+4 d x;

Passo 1

O enunciado pede para estudar a integral imprópria
integral1^infty1x^2+4,dx
verificando se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular o seu valor. O conteúdo é análise de convergência de integrais impróprias e uso de primitiva envolvendo arctangente.

Passo 2

Para testar a convergência, note que, para x grande,
1x^2+4sim 1x^2
Como a integral
integral1^infty1x^2,dx
é convergente (é uma p-integral com p=2>1), pelo teste de comparação a nossa integral também converge.

Passo 3

Agora encontramos uma primitiva de tfrac1x^2+4. Usamos que
integral 1x^2+a^2,dx = 1a,arctan!l(tfracxar)+C
Aqui a=2, logo
integral 1x^2+4,dx = 12,arctan!l(tfracx2r)+C

Passo 4

Avaliamo a integral imprópria como limite:
integral1^infty1x^2+4,dx = limRtoinfty[12,arctan!l(tfracx2r)]x=1^x=R = 12l(limRtoinftyarctan!tfracR2 - arctan!tfrac12r)
Como limRtoinftyarctan(R/2)=pi/2, vem
integral1^infty1x^2+4,dx = 12l(pi2 - arctan!tfrac12r) = pi4 - 12arctan!l(tfrac12r)

Resposta

A integral converge e vale
pi4 ;-;12,arctan!l(tfrac12r)

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