Determine a equação característica para cada ED abaixo e encontre suas raízes:
y^prime prime-y^prime-6 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' - 6y = 0
O método padrão é usar a ansatz y = e^rx, pois assim transformamos a EDO numa equação algébrica para r.

Passo 2

Substituindo y = e^rx na equação, temos
y' = r e^rx, y'' = r^2 e^rx,
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r^2 e^rx - r e^rx - 6,e^rx = 0
Como e^rxneq0, podemos dividir e obter a equação característica em r:
r^2 - r - 6 = 0

Passo 3

Para resolver
r^2 - r - 6 = 0
calculamos o discriminante
De<a = (-1)^2 - 4cdot1cdot(-6) = 1 + 24 = 25
Assim as raízes são
r = 1 pm raiz252 = 1 pm 52,
o que dá
r1 = 3, r2 = -2

Resposta

A equação característica é
r^2 - r - 6 = 0
e suas raízes são
r1 = 3, r2 = -2

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