Utilize Integração por Partes para calcular as integrais a seguir.
(b) integral x sen(10 x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x sen(10x),dx
usando o método de integração por partes. Esse método se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du,
onde escolhemos funções u e dv de modo a facilitar o cálculo.

Passo 2

Escolhemos
u = x e dv = sen(10x),dx
A ideia é que derivar u=x simplifica (vira 1) e integrar dv=sen(10x),dx é direto.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = d(x) = 1,dx,
v = integral sen(10x),dx
Para achar v, usamos a primitiva de sen(10x):
integral sen(10x),dx = -110cos(10x)
Logo
v = -110cos(10x)

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x sen(10x),dx = u,v ;-; integral v,du = x!l(-tfrac110cos(10x)r) ;-;integral l(-tfrac110cos(10x)r),dx

Passo 5

Simplificamos cada termo:
x!l(-tfrac110cos(10x)r) = -x10cos(10x),
e
-integral l(-tfrac110cos(10x)r),dx = +110integral cos(10x),dx
Agora, a primitiva de cos(10x) é
integral cos(10x),dx = 110sen(10x)
Portanto
110integral cos(10x),dx = 110cdot110sen(10x) = 1100sen(10x)

Passo 6

Juntando os resultados e adicionando a constante C:
integral x sen(10x),dx = -x10cos(10x) + 1100sen(10x) + C

Resposta

boxed integral x sen(10x),dx = -x10cos(10x) + 1100sen(10x) + C

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