Utilize Integração por Partes para calcular as integrais a seguir.
(d) integral w ln (w) d w;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral w ln(w),dw
usando o método de integração por partes. Vamos lembrar que a fórmula de integração por partes é
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Precisamos escolher u e dv de modo que du e v sejam simples de calcular. Uma escolha natural é
u = ln(w), dv = w,dw
pois a derivada de ln(w) é simples e a antiderivada de w também é fácil.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = d ww, v = integral w,dw = w^22

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral w ln(w),dw = u,v - integral v,du = w^22ln(w) - integral w^22,dww = w^22ln(w) - 12integral w,dw
Calculando a integral restante:
integral w,dw = w^22,
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integral w ln(w),dw = w^22ln(w) - 12cdotw^22 + C = w^22ln(w) - w^24 + C

Resposta

integral w ln(w),dw = w^22ln(w) - w^24 + C

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