Determine a equação característica para cada ED abaixo e encontre suas raízes:
y^prime prime prime+3 y^prime prime+3 y^prime+y=0

Passo 1

A equação diferencial dada é de terceira ordem com coeficientes constantes. O que precisamos é formular a equação característica associada a
y''' + 3y'' + 3y' + y = 0
e então encontrar suas raízes.

Passo 2

Para resolver, usamos o palpite de solução da forma y=e^rt. Derivando temos:
y' = r e^rt, y'' = r^2 e^rt, y''' = r^3 e^rt
Substituindo na equação diferencial, todos os termos ficam multiplicados por e^rt, que não é zero.

Passo 3

Cancelamos e^rt e obtemos a equação característica:
r^3 + 3r^2 + 3r + 1 = 0

Passo 4

Repare que o polinômio é um cubo perfeito. Fatorando:
r^3 + 3r^2 + 3r + 1 = (r + 1)^3 = 0
Daí concluímos que a única raiz é r = -1, com multiplicidade 3.

Resposta

Equação característica: r^3 + 3r^2 + 3r + 1 = 0. Suas raízes são r = -1 (multiplicidade 3).

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