Utilize Integração por Partes para calcular as integrais a seguir.
(f) integral(x^2+2 x) cos (x) d x ;(k) integral e^3 x cos (x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando integração por partes, as duas integrais
(f);integral (x^2+2x)cos x,dx, (k);integral e^3xcos x,dx
O conteúdo principal é a técnica de integração por partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Para integral (x^2+2x)cos x,dx, escolho
u = x^2+2x, dv = cos x,dx,
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du = (2x+2),dx, v = integral cos x,dx = sin x
Aplicando a fórmula obtemos
integral (x^2+2x)cos x,dx = (x^2+2x)sin x - integral (2x+2)sin x,dx

Passo 3

Agora calculo integral (2x+2)sin x,dx. Escrevo
integral (2x+2)sin x,dx = 2integral xsin x,dx + 2integral sin x,dx
Para integral xsin x,dx uso partes com
u1 = x, dv1 = sin x,dx ;Longrightarrow; du1 = dx, v1 = -cos x
Logo
integral xsin x,dx = -xcos x + integral cos x,dx = -xcos x + sin x
E
2integral sin x,dx = -2cos x
Portanto
integral (2x+2)sin x,dx = 2l(-xcos x + sin xr) - 2cos x = -2xcos x + 2sin x - 2cos x

Passo 4

Substituindo em (f) e simplificando:
integral (x^2+2x)cos x,dx = (x^2+2x)sin x - l(-2xcos x + 2sin x - 2cos xr)
= (x^2+2x)sin x + 2xcos x - 2sin x + 2cos x + C
Reagrupando termos obtém-se também
boxed integral (x^2+2x)cos x,dx = (x^2+2x-2)sin x + 2(x+1)cos x + C

Passo 5

Para integral e^3xcos x,dx defino
I = integral e^3xcos x,dx
Aplico partes com
u = e^3x, dv = cos x,dx ;Longrightarrow; du = 3e^3x,dx, v = sin x,
ficando
I = e^3xsin x - 3integral e^3xsin x,dx

Passo 6

Preciso de integral e^3xsin x,dx. Faço partes com
u2 = e^3x, dv2 = sin x,dx ;Longrightarrow; du2 = 3e^3x,dx, v2 = -cos x,
portanto
integral e^3xsin x,dx = -e^3xcos x + 3integral e^3xcos x,dx = -e^3xcos x + 3I

Passo 7

Substituindo este resultado em I:
I = e^3xsin x - 3l(-e^3xcos x + 3Ir) = e^3xsin x + 3e^3xcos x - 9I
Logo
10I = e^3xl(sin x + 3cos xr) Longrightarrow I = e^3x10,l(sin x + 3cos xr) + C

Resposta

(f) integral (x^2+2x)cos x,dx=(x^2+2x-2)sin x + 2(x+1)cos x + C
(k) integral e^3xcos x,dx=e^3x10,(sin x + 3cos x) + C

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