TESTES VERDADEIRO-FALSO
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Passo 1
O enunciado pede para comparar as duas integrais iteradas
sobre o retângulo
.
O conteúdo é a troca de ordem de integração em integrais duplas e vamos usar o Teorema de Fubini.
O conteúdo é a troca de ordem de integração em integrais duplas e vamos usar o Teorema de Fubini.
Passo 2
A função
é contínua em todo o retângulo
, pois é produto de polinômio em
e função seno de expressão linear em
. Uma função contínua em conjunto fechado e limitado é integrável (até absolutamente integrável), então podemos aplicar o Teorema de Fubini.
Passo 3
O Teorema de Fubini garante que, sendo
integrável em
, as integrais iteradas existem e valem o mesmo valor da integral dupla sobre
, independentemente da ordem de integração. Logo,
Resposta
A afirmação é verdadeira, pois
é contínua em
e o Teorema de Fubini permite trocar a ordem de integração.