TESTES VERDADEIRO-FALSO
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
integral-1^2 integral0^6 x^2 sen(x-y) d x d y=integral0^6 integral-1^2 x^2 sen(x-y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para comparar as duas integrais iteradas
integraly=-1^2integralx=0^6x^2sen(x-y),dx,dy e integralx=0^6integraly=-1^2x^2sen(x-y),dy,dx
sobre o retângulo R = [0,6]times[-1,2].
O conteúdo é a troca de ordem de integração em integrais duplas e vamos usar o Teorema de Fubini.

Passo 2

A função
f(x,y) = x^2sen(x-y)
é contínua em todo o retângulo R, pois é produto de polinômio em x e função seno de expressão linear em (x,y). Uma função contínua em conjunto fechado e limitado é integrável (até absolutamente integrável), então podemos aplicar o Teorema de Fubini.

Passo 3

O Teorema de Fubini garante que, sendo f integrável em R, as integrais iteradas existem e valem o mesmo valor da integral dupla sobre R, independentemente da ordem de integração. Logo,
integraly=-1^2!!integralx=0^6x^2sen(x-y),dx,dy =integralx=0^6!!integraly=-1^2x^2sen(x-y),dy,dx

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois f(x,y)=x^2sen(x-y) é contínua em [0,6]times[-1,2] e o Teorema de Fubini permite trocar a ordem de integração.

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