Determine a equação cartesiana de uma elipse com um foco no ponto
, centro em
e excentricidade
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a equação cartesiana de uma elipse sabendo que um dos focos está no ponto
, o centro da elipse é
e a excentricidade
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados às elipses, como a relação entre os eixos, os focos e a excentricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a distância entre o centro da elipse
e o foco
. Essa distância é chamada de
e é calculada pela fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores:
Passo 3
Sabemos que a excentricidade
está relacionada com a distância
e o semi-eixo maior
pela fórmula:
Queremos encontrar
, então rearranjamos a fórmula:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o semi-eixo menor
. A relação entre
,
e
em uma elipse é dada por:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 5
Com
e
, podemos escrever a equação padrão da elipse. Como os focos estão alinhados na direção vertical (mesmo valor de
), a fórmula da elipse será:
Onde
é o centro da elipse. Substituindo os valores:
Resposta
A equação cartesiana da elipse é: