Determine a equação cartesiana de uma elipse com um foco no ponto F= (-2,5), centro em C=(-2,3) e excentricidade e=45.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a equação cartesiana de uma elipse sabendo que um dos focos está no ponto F=(-2,5), o centro da elipse é C=(-2,3) e a excentricidade e=45. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados às elipses, como a relação entre os eixos, os focos e a excentricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a distância entre o centro da elipse C=(-2,3) e o foco F=(-2,5). Essa distância é chamada de c e é calculada pela fórmula da distância entre dois pontos:
c = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Substituindo os valores:
c = raiz(-2 - (-2))^2 + (5 - 3)^2 = raiz0 + 4 = 2

Passo 3

Sabemos que a excentricidade e está relacionada com a distância c e o semi-eixo maior a pela fórmula:
e = ca
Queremos encontrar a, então rearranjamos a fórmula:
a = ce = 245 = 2 times 54 = 104 = 2,5

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o semi-eixo menor b. A relação entre a, b e c em uma elipse é dada por:
b^2 = a^2 - c^2
Substituindo os valores que já temos:
b^2 = (2,5)^2 - (2)^2 = 6,25 - 4 = 2,25

Passo 5

Com a = 2,5 e b = raiz2,25 = 1,5, podemos escrever a equação padrão da elipse. Como os focos estão alinhados na direção vertical (mesmo valor de x), a fórmula da elipse será:
(x - h)^2b^2 + (y - k)^2a^2 = 1
Onde (h,k) é o centro da elipse. Substituindo os valores:
(x + 2)^22,25 + (y - 3)^26,25 = 1

Resposta

A equação cartesiana da elipse é:
(x + 2)^22,25 + (y - 3)^26,25 = 1

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