Esboce, exibindo o máximo possível de detalhes, a curva cônica dada pela equação
Cada passo deve ser cuidadosamente escrito. Identifique todos os elementos importantes na cônica, incluindo coordenadas e equações de pontos e retas:
- se for elipse - apresente coordenadas do centrro, dos focos e vértices, trace o retângulo e / ou coroa fundamental;
- se for hipérbole - apresente coordenadas do centro, dos focos e vértices, trace o retângulo fundamental e dê as equações das assíntotas;
- se for parábola- apresente as coordenadas do foco e do vértice, reta diretriz, trace o triângulo fundamental e dê a equação da reta diretriz.
Passo 1
Então, galera, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa desenhar a curva cônica dada pela equação:
Isso envolve o estudo de Cônicas, que são figuras como elipses, hipérboles e parábolas. Para resolver, vamos precisar identificar de qual tipo de cônica estamos lidando, encontrar o centro, vértices, focos e outros elementos importantes. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a identificação da cônica. Vamos agrupar os termos de
e de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para as partes de
e
. Isso nos ajuda a colocar a equação na forma padrão da cônica.
Para o
:
Agora, completando o quadrado dentro do parêntese:
Então:
Para o
:
Completando o quadrado:
Então:
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:
Subtraindo 55 de ambos os lados:
Passo 5
Agora, vamos dividir toda a equação por 144 para obter 1 no lado direito:
Simplificando as frações:
Passo 6
Observamos que o denominador de
está negativo, o que indica que estamos lidando com uma hipérbole, pois uma das parcelas é negativa e a outra é positiva.
Passo 7
Vamos reescrever a equação de forma padrão para hipérbola:
Comparando com nossa equação:
Então, temos:
- Centro
-
-
Passo 8
Para uma hipérbole vertical, os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo
.
Então, os vértices são:
Passo 9
Os focos estão a uma distância
do centro, onde
.
Calculando
:
Então, os focos são:
Passo 10
Agora, vamos traçar o retângulo fundamental da hipérbole. As dimensões são
e
:
Então, o retângulo tem largura 6 e altura 8, centrado em
.
Passo 11
As assíntotas da hipérbole são dadas pelas retas que passam pelo centro com inclinação
.
Calculando:
Então, as equações das assíntotas são:
Resposta
Portanto, a hipérbole é centrada em
, com vértices em
e
, focos em
e
. As assíntotas são as retas
e
. O retângulo fundamental tem largura 6 e altura 8, centrado em
. O esboço da hipérbole deve incluir todos esses elementos.