Esboce, exibindo o máximo possível de detalhes, a curva cônica dada pela equação
-16 x^2-64 x+9 y^2-18 y-199=0
Cada passo deve ser cuidadosamente escrito. Identifique todos os elementos importantes na cônica, incluindo coordenadas e equações de pontos e retas:
  • se for elipse - apresente coordenadas do centrro, dos focos e vértices, trace o retângulo e / ou coroa fundamental;
  • se for hipérbole - apresente coordenadas do centro, dos focos e vértices, trace o retângulo fundamental e dê as equações das assíntotas;
  • se for parábola- apresente as coordenadas do foco e do vértice, reta diretriz, trace o triângulo fundamental e dê a equação da reta diretriz.

Passo 1

Então, galera, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa desenhar a curva cônica dada pela equação:
-16 x^2-64 x+9 y^2-18 y-199=0
Isso envolve o estudo de Cônicas, que são figuras como elipses, hipérboles e parábolas. Para resolver, vamos precisar identificar de qual tipo de cônica estamos lidando, encontrar o centro, vértices, focos e outros elementos importantes. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a identificação da cônica. Vamos agrupar os termos de x e de y:
-16 x^2 -64 x +9 y^2 -18 y = 199

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para as partes de x e y. Isso nos ajuda a colocar a equação na forma padrão da cônica.
Para o x:
-16 x^2 -64 x = -16(x^2 +4x)
Agora, completando o quadrado dentro do parêntese:
x^2 +4x = (x +2)^2 -4
Então:
-16(x^2 +4x) = -16[(x+2)^2 -4] = -16(x+2)^2 +64
Para o y:
9 y^2 -18 y = 9(y^2 -2y)
Completando o quadrado:
y^2 -2y = (y -1)^2 -1
Então:
9(y^2 -2y) = 9[(y -1)^2 -1] = 9(y -1)^2 -9

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
-16(x+2)^2 +64 +9(y -1)^2 -9 =199
Simplificando:
-16(x+2)^2 +9(y -1)^2 +55 =199
Subtraindo 55 de ambos os lados:
-16(x+2)^2 +9(y -1)^2 =144

Passo 5

Agora, vamos dividir toda a equação por 144 para obter 1 no lado direito:
-16(x+2)^2144 + 9(y -1)^2144 =1
Simplificando as frações:
(x+2)^2-9 + (y -1)^216 =1

Passo 6

Observamos que o denominador de (x+2)^2 está negativo, o que indica que estamos lidando com uma hipérbole, pois uma das parcelas é negativa e a outra é positiva.

Passo 7

Vamos reescrever a equação de forma padrão para hipérbola:
(y -k)^2a^2 - (x -h)^2b^2 =1
Comparando com nossa equação:
(y -1)^216 - (x+2)^29 =1
Então, temos:
  • Centro (h,k) = (-2,1)
  • a^2 =16 Rightarrow a=4
  • b^2=9 Rightarrow b=3

Passo 8

Para uma hipérbole vertical, os vértices estão a uma distância a do centro ao longo do eixo y.
Então, os vértices são:
(-2,1 +4) = (-2,5) e (-2,1-4)=(-2,-3)

Passo 9

Os focos estão a uma distância c do centro, onde c^2 = a^2 + b^2.
Calculando c:
c^2 =16 +9 =25 Rightarrow c=5
Então, os focos são:
(-2,1+5) = (-2,6) e (-2,1-5)=(-2,-4)

Passo 10

Agora, vamos traçar o retângulo fundamental da hipérbole. As dimensões são 2a e 2b:
2a =8 e 2b=6
Então, o retângulo tem largura 6 e altura 8, centrado em (-2,1).

Passo 11

As assíntotas da hipérbole são dadas pelas retas que passam pelo centro com inclinação pm ab.
Calculando:
m = ab = 43
Então, as equações das assíntotas são:
y -1 = 43(x +2) e y -1 = -43(x +2)

Resposta

Portanto, a hipérbole é centrada em (-2,1), com vértices em (-2,5) e (-2,-3), focos em (-2,6) e (-2,-4). As assíntotas são as retas y -1 = 43(x +2) e y -1 = -43(x +2). O retângulo fundamental tem largura 6 e altura 8, centrado em (-2,1). O esboço da hipérbole deve incluir todos esses elementos.

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