Sobre uma elipse E, sabe-se que:
  • o centro tem coordenadas (-3,1);
  • a excentricidade é igual a 0.6 ;
  • a reta focal é paralela ao eixo Ox;
  • o ponto (0,4) pertence a E.
    Complete:
    A equação da curva é:

Passo 1

O enunciado dá uma elipse centrada em (-3,1), com excentricidade e=0,6, eixo maior paralelo a Ox e passando pelo ponto (0,4). Para resolver, vamos usar a forma padrão da elipse horizontal e a relação entre semi-eixo maior a, semi-eixo menor b e distância focal c.

Passo 2

A equação geral de uma elipse de centro (h,k) e eixo maior horizontal é
(x-h)^2a^2+(y-k)^2b^2=1,
com a>b>0, e a excentricidade é definida por
e = ca,
onde c^2 = a^2 - b^2.
Como e=0,6, temos c = 0,6,a e portanto
b^2 = a^2 - c^2 = a^2 - (0,6a)^2 = a^2 - 0,36,a^2 = 0,64,a^2

Passo 3

O ponto (0,4) pertence à elipse, então substituímos (x,y)=(0,4) na equação:
(0+3)^2a^2 + (4-1)^2b^2 = 1 ;Longrightarrow; 9a^2 + 90,64,a^2 = 1
Agrupando em a^2:
9l(1 + tfrac10,64r)a^2 = 1 com 1 + tfrac10,64 = 1 + 1,5625 = tfrac4116,
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9cdot tfrac4116a^2 = 1 ;Longrightarrow; a^2 = 9cdot 4116 = 36916
Agora b^2 = 0,64,a^2 = 0,64cdot36916 = 36925

Passo 4

Como o centro é (h,k)=(-3,1), a equação final em forma padrão é
(x+3)^2tfrac36916 ;+;(y-1)^2tfrac36925 ;=;1,
que também pode ser escrita de modo mais compacto como
16,(x+3)^2 ;+;25,(y-1)^2 ;=;369

Resposta

(x+3)^2tfrac36916 + (y-1)^2tfrac36925 = 1

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