Esboce, exibindo o máximo possível de detalhes, a curva cônica dada pela equação
x^2-8 x+8 y+8=0
Cada passo deve ser cuidadosamente escrito. Identifique todos os elementos importantes na cônica, incluindo coordenadas e equações de pontos e retas:
  • se for elipse - apresente coordenadas do centrro, dos focos e vértices, trace o retangulo e / ou coroa fundamental;
  • se for hipérbole - apresente coordenadas do centro, dos focos e vértices, trace o retângulo fundamental e dê as equações das assíntotas;
  • se for parábola- apresente as coordenadas do foco e do vértice, reta diretriz, trace o triângulo fundamental e dê a equação da reta diretriz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a curva cônica definida pela equação
x^2 - 8x + 8y + 8 = 0
Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre curvas cônicas. Vamos identificar que tipo de cônica é essa (parábola, elipse ou hipérbole) e encontrar seus elementos principais, como vértices, focos e outras características importantes para desenhar o esboço detalhado.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para identificar qual é a cônica. A equação dada é:
x^2 - 8x + 8y + 8 = 0
Vamos isolar os termos de y :
x^2 - 8x + 8 = -8y
Dividindo todos os termos por -8 para isolar y :
y = -18x^2 + 88x -1
Simplificando:
y = -18x^2 + x -1
Essa equação está na forma de uma parábola, pois só temos x^2 e y está isolado. Então, sabemos que essa curva é uma parábola.

Passo 3

Agora que identificamos que é uma parábola, vamos colocá-la na forma padrão para facilitar a identificação dos elementos. A forma padrão de uma parábola que abre para cima ou para baixo é:
y = a(x - h)^2 + k
Vamos completar o quadrado para reescrever nossa equação nessa forma. Começamos com:
y = -18x^2 + x -1
Fatorando o coeficiente de x^2 :
y = -18(x^2 - 8x) -1
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Pegamos o coeficiente de x , que é -8 , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(-82)^2 = (-4)^2 = 16
Adicionamos e subtraímos 16 dentro do parêntese:
y = -18(x^2 - 8x + 16 - 16) -1
y = -18((x - 4)^2 - 16) -1
Distribuindo o -18:
y = -18(x - 4)^2 + 2 -1
y = -18(x - 4)^2 + 1
Agora, nossa equação está na forma padrão:
y = a(x - h)^2 + k
y = -18(x - 4)^2 + 1

Passo 4

Com a equação na forma padrão, podemos identificar os elementos da parábola:
  • Vértice (h, k): neste caso, h = 4 e k = 1 , então o vértice está em (4, 1).
  • Coeficiente a : a = -18 . Como a é negativo, a parábola abre para baixo.
  • Foco e Diretriz: Para encontrar o foco e a diretriz, usamos a fórmula 14a .
Vamos calcular 14a :
14a = 14 times (-18) = 1-12 = -2
Então:
  • Foco: Está a 14a unidades do vértice na direção para a qual a parábola abre. Já que abre para baixo, o foco está abaixo do vértice. Assim, as coordenadas do foco são:
(4, 1 - 2) = (4, -1)
  • Diretriz: É uma reta paralela à direção oposta da abertura da parábola, a 14a unidades do vértice. Então, a equação da diretriz é:
y = 1 + 2 = 3

Passo 5

Para esboçar a parábola, vamos seguir os seguintes passos:
  1. Vértice: Já sabemos que está em (4, 1). Marcamos esse ponto no gráfico.
  2. Foco: Em (4, -1). Esse ponto fica dentro da parábola.
  3. Diretriz: A reta y = 3 . Desenhe uma linha horizontal acima do vértice.
  4. Abertura: Como a = -18 , a parábola abre para baixo e é mais “lenta” (menos estreita).
  5. Triângulo Fundamental: Para ajudar no desenho, podemos usar o foco e a diretriz para desenhar um triângulo que auxilia na obtenção de pontos adicionais na parábola.
Vamos adicionar alguns pontos para deixar o esboço mais preciso. Por exemplo, escolher valores de x próximos ao vértice e calcular y .
Por exemplo:
  • Quando x = 4 , y = 1 (vértice).
  • Quando x = 3 :
y = -18(3 - 4)^2 + 1 = -18(1) + 1 = -18 + 1 = 78
  • Quando x = 5 :
y = -18(5 - 4)^2 + 1 = -18(1) + 1 = 78
Assim, temos simetria em relação ao eixo vertical x = 4 .

Passo 6

Agora, vamos resumir os elementos encontrados:
  • Vértice: (4, 1)
  • Foco: (4, -1)
  • Diretriz: y = 3
  • Abertura: Para baixo
  • Pontos adicionais: (3, 78) e (5, 78)
Com esses elementos, podemos desenhar a parábola:
  1. Desenhe o sistema de coordenadas.
  2. Marque o vértice em (4, 1).
  3. Marque o foco em (4, -1).
  4. Desenhe a diretriz y = 3 como uma linha horizontal acima do vértice.
  5. Plot os pontos adicionais para ajudar a desenhar a curva.
  6. Esboce a parábola abrindo para baixo, passando pelo vértice e se aproximando da diretriz.

Resposta

A curva cônica é uma parábola com os seguintes elementos:
  • Vértice: (4, 1)
  • Foco: (4, -1)
  • Diretriz: y = 3
  • Abertura: Para baixo
  • Pontos adicionais: (3, 78) e (5, 78)
Com essas informações, o esboço da parábola deve ser feito considerando o vértice, o foco, a diretriz e os pontos adicionais para garantir a precisão do desenho.

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