Esboce, exibindo o máximo possível de detalhes, a curva cônica dada pela equação
Cada passo deve ser cuidadosamente escrito. Identifique todos os elementos importantes na cônica, incluindo coordenadas e equações de pontos e retas:
- se for elipse - apresente coordenadas do centrro, dos focos e vértices, trace o retangulo e / ou coroa fundamental;
- se for hipérbole - apresente coordenadas do centro, dos focos e vértices, trace o retângulo fundamental e dê as equações das assíntotas;
- se for parábola- apresente as coordenadas do foco e do vértice, reta diretriz, trace o triângulo fundamental e dê a equação da reta diretriz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a curva cônica definida pela equação
Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre curvas cônicas. Vamos identificar que tipo de cônica é essa (parábola, elipse ou hipérbole) e encontrar seus elementos principais, como vértices, focos e outras características importantes para desenhar o esboço detalhado.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para identificar qual é a cônica. A equação dada é:
Vamos isolar os termos de
:
Dividindo todos os termos por
para isolar
:
Simplificando:
Essa equação está na forma de uma parábola, pois só temos
e
está isolado. Então, sabemos que essa curva é uma parábola.
Passo 3
Agora que identificamos que é uma parábola, vamos colocá-la na forma padrão para facilitar a identificação dos elementos. A forma padrão de uma parábola que abre para cima ou para baixo é:
Vamos completar o quadrado para reescrever nossa equação nessa forma. Começamos com:
Fatorando o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 16 dentro do parêntese:
Distribuindo o
:
Agora, nossa equação está na forma padrão:
Passo 4
Com a equação na forma padrão, podemos identificar os elementos da parábola:
- Vértice
: neste caso, e , então o vértice está em . - Coeficiente
: . Como é negativo, a parábola abre para baixo. - Foco e Diretriz: Para encontrar o foco e a diretriz, usamos a fórmula
.
Vamos calcular
:
Então:
- Foco: Está a
unidades do vértice na direção para a qual a parábola abre. Já que abre para baixo, o foco está abaixo do vértice. Assim, as coordenadas do foco são:
- Diretriz: É uma reta paralela à direção oposta da abertura da parábola, a
unidades do vértice. Então, a equação da diretriz é:
Passo 5
Para esboçar a parábola, vamos seguir os seguintes passos:
- Vértice: Já sabemos que está em
. Marcamos esse ponto no gráfico. - Foco: Em
. Esse ponto fica dentro da parábola. - Diretriz: A reta
. Desenhe uma linha horizontal acima do vértice. - Abertura: Como
, a parábola abre para baixo e é mais “lenta” (menos estreita). - Triângulo Fundamental: Para ajudar no desenho, podemos usar o foco e a diretriz para desenhar um triângulo que auxilia na obtenção de pontos adicionais na parábola.
Vamos adicionar alguns pontos para deixar o esboço mais preciso. Por exemplo, escolher valores de
próximos ao vértice e calcular
.
Por exemplo:
- Quando
, (vértice). - Quando
:
- Quando
:
Assim, temos simetria em relação ao eixo vertical
.
Passo 6
Agora, vamos resumir os elementos encontrados:
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz:
- Abertura: Para baixo
- Pontos adicionais:
e
Com esses elementos, podemos desenhar a parábola:
- Desenhe o sistema de coordenadas.
- Marque o vértice em
. - Marque o foco em
. - Desenhe a diretriz
como uma linha horizontal acima do vértice. - Plot os pontos adicionais para ajudar a desenhar a curva.
- Esboce a parábola abrindo para baixo, passando pelo vértice e se aproximando da diretriz.
Resposta
A curva cônica é uma parábola com os seguintes elementos:
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz:
- Abertura: Para baixo
- Pontos adicionais:
e
Com essas informações, o esboço da parábola deve ser feito considerando o vértice, o foco, a diretriz e os pontos adicionais para garantir a precisão do desenho.