Obtenha a equação cartesiana hipérbole com um foco em
, centro no ponto
e excentricidade
.
Resolução: a reta que contém o centro e um foco da hipérbole é paralela ao eixo y. Uma hipérbole com essas características tem equação da forma:
. Temos ainda que
e usando a excentricidade, segue que:
. Vamos calcular agora o valor de
.
Assim, a equação da hipérbole fica na forma:
.
Assim, a equação da hipérbole fica na forma:
Passo 1
O enunciado pede a equação cartesiana de uma hipérbole cujo foco é
, centro em
e excentricidade
. O conteúdo aqui é seções cônicas, em particular hipérbole com eixo focal vertical. Para montar a equação precisaremos identificar a orientação (vertical ou horizontal), calcular
, em seguida
via
e depois
via
.
Passo 2
Como o foco
e o centro
têm a mesma abscissa
, a reta que os une é vertical. Logo, trata-se de hipérbole de eixo vertical, cuja forma canônica é
com centro
.
Passo 3
Calculamos a distância entre o centro e o foco para obter
:
Passo 4
Pela definição de excentricidade de uma hipérbole vale
Passo 5
A relação fundamental entre
,
e
em hipérbole é
Passo 6
Substituindo
,
,
e
na forma canônica vertical, obtemos