Obtenha a equação cartesiana hipérbole com um foco em F=(2,-2), centro no ponto C=(2,3) e excentricidade e=\frac{5}{3}.
Resolução: a reta que contém o centro e um foco da hipérbole é paralela ao eixo y. Uma hipérbole com essas características tem equação da forma: \frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1. Temos ainda que c=\operatorname{dist}(F, C)=5 e usando a excentricidade, segue que: \frac{5}{3}=e=\frac{c}{a}= \frac{5}{a} \Longrightarrow a=3. Vamos calcular agora o valor de b: c^{2}=a^{2}+b^{2} \Longrightarrow b^{2}=c^{2}-a^{2}=25-9= \stackrel{a}{16} \Longrightarrow b=4.
Assim, a equação da hipérbole fica na forma: \frac{(y-3)^{2}}{9}-\frac{(x-2)^{2}}{16}=1.

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana de uma hipérbole cujo foco é \displaystyle F=(2,-2), centro em \displaystyle C=(2,3) e excentricidade \displaystyle e=\tfrac{5}{3}. O conteúdo aqui é seções cônicas, em particular hipérbole com eixo focal vertical. Para montar a equação precisaremos identificar a orientação (vertical ou horizontal), calcular c, em seguida a via e=c/a e depois b via c^2=a^2+b^2.

Passo 2

Como o foco \displaystyle F e o centro \displaystyle C têm a mesma abscissa x=2, a reta que os une é vertical. Logo, trata-se de hipérbole de eixo vertical, cuja forma canônica é
\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}} \;-\;\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}} \;=\;1
com centro (h,k)=(2,3).

Passo 3

Calculamos a distância entre o centro e o foco para obter c:
c = \mathrm{dist}(C,F) = \sqrt{(2-2)^{2} + (-2-3)^{2}} = \sqrt{0 + 25} = 5.

Passo 4

Pela definição de excentricidade de uma hipérbole vale
e = \frac{c}{a} \quad\Longrightarrow\quad \frac{5}{3} = \frac{5}{a} \quad\Longrightarrow\quad a = 3.

Passo 5

A relação fundamental entre a, b e c em hipérbole é
c^{2} = a^{2} + b^{2} \quad\Longrightarrow\quad b^{2} = c^{2} - a^{2} = 25 - 9 = 16 \quad\Longrightarrow\quad b = 4.

Passo 6

Substituindo h=2, k=3, a=3 e b=4 na forma canônica vertical, obtemos
\frac{(y-3)^{2}}{3^{2}} \;-\;\frac{(x-2)^{2}}{4^{2}} = 1.

Resposta

\frac{(y-3)^{2}}{9} \;-\;\frac{(x-2)^{2}}{16} = 1.

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