Determine uma equação cartesiana do plano:
(b) Que passa pelos pontos .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação cartesiana de um plano que passa pelos três pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a equação geral de um plano no espaço é dada por:
onde , , e são os coeficientes normais ao plano, e é uma constante.
Passo 3
Como temos três pontos que pertencem ao plano, podemos usar esses pontos para encontrar os coeficientes , , e . Vamos usar os pontos , e .
Passo 4
Vamos substituir cada ponto na equação geral do plano para criar um sistema de equações:
Para :
Para :
Para :
Passo 5
Agora, temos o sistema:
Vamos resolver esse sistema para encontrar a, b, c e d.
Passo 6
Podemos subtrair a equação (3) da equação (2):
(a + c) - (a + b) = d - d
c - b = 0
c = b
Passo 7
Substituindo c = b na equação (1):
b + b = d
2b = d
b = d2
Passo 8
Como c = b, então:
c = d2
Passo 9
Substituindo b = d2 na equação (3):
a + d2 = d
a = d - d2
a = d2
Passo 10
Agora, temos:
a = d2, b = d2, c = d2
Substituindo na equação geral do plano:
d2x + d2y + d2z = d
Passo 11
Podemos dividir toda a equação por d2 (supondo que d neq 0):