Determine uma equação cartesiana do plano:
(b) Que passa pelos pontos (0,1,1),(1,0,1) e (1,1,0).
x+y+z=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação cartesiana de um plano que passa pelos três pontos (0,1,1), (1,0,1) e (1,1,0). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a equação geral de um plano no espaço é dada por:
ax + by + cz = d
onde a, b, e c são os coeficientes normais ao plano, e d é uma constante.

Passo 3

Como temos três pontos que pertencem ao plano, podemos usar esses pontos para encontrar os coeficientes a, b, c e d. Vamos usar os pontos (0,1,1), (1,0,1) e (1,1,0).

Passo 4

Vamos substituir cada ponto na equação geral do plano para criar um sistema de equações:
Para (0,1,1):
a(0) + b(1) + c(1) = d
b + c = d (1)
Para (1,0,1):
a(1) + b(0) + c(1) = d
a + c = d (2)
Para (1,1,0):
a(1) + b(1) + c(0) = d
a + b = d (3)

Passo 5

Agora, temos o sistema:
b + c = d a + c = d a + b = d
Vamos resolver esse sistema para encontrar a, b, c e d.

Passo 6

Podemos subtrair a equação (3) da equação (2):
(a + c) - (a + b) = d - d
c - b = 0
c = b

Passo 7

Substituindo c = b na equação (1):
b + b = d
2b = d
b = d2

Passo 8

Como c = b, então:
c = d2

Passo 9

Substituindo b = d2 na equação (3):
a + d2 = d
a = d - d2
a = d2

Passo 10

Agora, temos:
a = d2, b = d2, c = d2
Substituindo na equação geral do plano:
d2x + d2y + d2z = d

Passo 11

Podemos dividir toda a equação por d2 (supondo que d neq 0):
x + y + z = 2

Resposta

A equação cartesiana do plano é:
x + y + z = 2

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