Determine a equação cartesiana do plano paralelo ao plano xy e que contenha o ponto A(5,4,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação cartesiana de um plano que seja paralelo ao plano xy e que passe pelo ponto A(5,4,-1). Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como é a equação de um plano. A equação geral de um plano é dada por:
Ax + By + Cz + D = 0
Onde A, B e C são os coeficientes que definem a orientação do plano, e D é o termo constante.

Passo 3

Como o plano que estamos procurando é paralelo ao plano xy, precisamos entender a orientação deste último. O plano xy tem a equação z = 0, que podemos reescrever como:
0x + 0y + 1z + 0 = 0
Comparando com a equação geral, vemos que A = 0, B = 0 e C = 1 para o plano xy.

Passo 4

Planos paralelos têm os mesmos coeficientes A, B e C. Portanto, o plano que buscamos também terá A = 0, B = 0 e C = 1. Assim, a equação do nosso plano será:
0x + 0y + 1z + D = 0
Ou simplificando:
z + D = 0

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor de D de forma que o plano passe pelo ponto A(5,4,-1). Para isso, substituímos as coordenadas de A na equação do plano:
z + D = 0 -1 + D = 0

Passo 6

Resolvendo a equação acima para D:
D = 1

Passo 7

Finalmente, substituímos o valor de D na equação do plano:
z + 1 = 0
Ou seja:
z = -1

Resposta

A equação cartesiana do plano paralelo ao plano xy que contém o ponto A(5,4,-1) é:
z = -1

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