( 2,0 pts ) Encontre a massa de um arame localizado no primeiro octante ao longo da curva C, que resulta da interseção do paraboloide elíptico z=2-x^2-2 y^2 e do cilindro parabólico z=x^2 entre os ponto P1(0,1,0) e P2(1,0,1), sabendo que a densidade linear de massa do arame é dada por lambda(x, y, z)=x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a massa de um arame que está no primeiro octante, ou seja, onde todas as coordenadas são positivas. Esse arame segue a curva formada pela interseção de um paraboloide elíptico z = 2 - x^2 - 2y^2 e um cilindro parabólico z = x^2 . A gente precisa achar a massa entre os pontos P1(0,1,0) e P2(1,0,1) . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente cálculo integral aplicado a curvas no espaço, e a fórmula da densidade linear de massa que é lambda(x, y, z) = xy .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da curva C que é a interseção das duas superfícies. Como ambas as equações são iguais a z , podemos igualá-las:
2 - x^2 - 2y^2 = x^2
Simplificando:
2 - 2y^2 = 2x^2
x^2 + y^2 = 1
Então, a curva C é um círculo de raio 1 no plano z = x^2 .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar essa curva. Como x^2 + y^2 = 1 , é conveniente usar coordenadas polares. Vamos definir:
x = cos t
y = sin t
Como z = x^2 , temos:
z = cos^2 t
Portanto, a parametrização da curva fica:
r(t) = (cos t, sin t, cos^2 t)
Onde t varia de 0 a pi2 para ir de P1 a P2 .

Passo 4

Precisamos encontrar o elemento de comprimento ds . Para isso, derivamos r(t) em relação a t :
r'(t) = (-sin t, cos t, -2cos t sin t)
O comprimento ds é dado por:
ds = |r'(t)| dt = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 + (-2cos t sin t)^2 dt
Simplificando:
ds = raizsin^2 t + cos^2 t + 4cos^2 t sin^2 t dt
ds = raiz1 + 4cos^2 t sin^2 t dt

Passo 5

A massa M do arame é dada pela integral da densidade linear ao longo da curva:
M = integralC lambda(x, y, z) ds
Substituindo lambda(x, y, z) = xy e a parametrização:
M = integral0^pi2 (cos t)(sin t) raiz1 + 4cos^2 t sin^2 t dt
Essa integral pode ser resolvida numericamente ou com técnicas avançadas de integração.

Resposta

A massa do arame é dada por:
M = integral0^pi2 cos t cdot sin t cdot raiz1 + 4cos^2 t sin^2 t , dt

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