(
) Encontre a massa de um arame localizado no primeiro octante ao longo da curva
, que resulta da interseção do paraboloide elíptico
e do cilindro parabólico
entre os ponto
e
, sabendo que a densidade linear de massa do arame é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a massa de um arame que está no primeiro octante, ou seja, onde todas as coordenadas são positivas. Esse arame segue a curva formada pela interseção de um paraboloide elíptico
e um cilindro parabólico
. A gente precisa achar a massa entre os pontos
e
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente cálculo integral aplicado a curvas no espaço, e a fórmula da densidade linear de massa que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da curva
que é a interseção das duas superfícies. Como ambas as equações são iguais a
, podemos igualá-las:
Simplificando:
Então, a curva
é um círculo de raio 1 no plano
.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar essa curva. Como
, é conveniente usar coordenadas polares. Vamos definir:
Como
, temos:
Portanto, a parametrização da curva fica:
Onde
varia de 0 a
para ir de
a
.
Passo 4
Precisamos encontrar o elemento de comprimento
. Para isso, derivamos
em relação a
:
O comprimento
é dado por:
Simplificando:
Passo 5
A massa
do arame é dada pela integral da densidade linear ao longo da curva:
Substituindo
e a parametrização:
Essa integral pode ser resolvida numericamente ou com técnicas avançadas de integração.
Resposta
A massa do arame é dada por: