(3,0 pts) Verifique que o campo na integral de linha (vetorial)
integral(1,1,1)^(2,2,2) 1y d x+(1z-xy^2) d y-yz^2 d z
é conservativo e calcule o resultado da integral utilizando
(a) A função potencial da qual deriva o campo
(b) Um caminho ligando o ponto P1(1,1,1) e P2(2,2,2)

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y,z)=l(1y,;1z- xy^2,;- yz^2r)
e pede para (i) verificar que é conservativo e (ii) calcular
integral(1,1,1)^(2,2,2) Fcdot d r usando
(a) a função potencial e
(b) um caminho de (1,1,1) a (2,2,2).

Passo 2

Verificamos as igualdades das derivadas parciais cruzadas:
partial Ppartial y =partialpartial yl(tfrac1yr) =-tfrac1y^2, partial Qpartial x =partialpartial xl(tfrac1z-tfrac xy^2r) =-tfrac1y^2,
partial Ppartial z=0 =partial Rpartial x, partial Qpartial z =-tfrac1z^2, partial Rpartial y =partialpartial yl(-tfrac yz^2r) =-tfrac1z^2
Como todas as derivadas cruzadas coincidem, F é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial phi, integramos em x:
phi(x,y,z)=integral 1y,dx = xy + g(y,z)
Derivando em y:
partialphipartial y =-xy^2 + partial gpartial y overset!=Q=1z- xy^2 ;Longrightarrow; partial gpartial y=1z,
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g(y,z)=integral1z,dy=yz+h(z).
Finalmente,
partialphipartial z =-yz^2+h'(z) overset!=R=-yz^2 ;Longrightarrow;h'(z)=0
Podemos escolher h(z)=0 e obter
phi(x,y,z)=xy+yz

Passo 4

(a) Com a potencial em mãos,
integral(1,1,1)^(2,2,2) Fcdot d r =phi(2,2,2)-phi(1,1,1) =l(tfrac22+tfrac22r) -l(tfrac11+tfrac11r) =2-2=0
(b) Alternativamente, tome o caminho retilíneo
r(t)=(1+t,,1+t,,1+t), 0<= t<=1.
Então dx=dy=dz=dt e x=y=z=1+t, e a soma
1ydx+l(1z- xy^2r)dy- yz^2dz
se anula identicamente, levando de novo a integral 0.

Resposta

(a) phi(x,y,z)=xy+yz
(b) integral(1,1,1)^(2,2,2) Fcdot d r=0

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