(3,0 pts) Verifique que o campo na integral de linha (vetorial)
é conservativo e calcule o resultado da integral utilizando
(a) A função potencial da qual deriva o campo
(b) Um caminho ligando o ponto
e
(a) A função potencial da qual deriva o campo
(b) Um caminho ligando o ponto
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para (i) verificar que é conservativo e (ii) calcular
usando
(a) a função potencial e
(b) um caminho de a
.
e pede para (i) verificar que é conservativo e (ii) calcular
(a) a função potencial e
(b) um caminho de
Passo 2
Verificamos as igualdades das derivadas parciais cruzadas:
Como todas as derivadas cruzadas coincidem,
é conservativo.
Passo 3
Para achar a função potencial
, integramos em
:
Derivando em
:
logo
.
Finalmente,
Finalmente,
Podemos escolher
e obter
Passo 4
(a) Com a potencial em mãos,
(b) Alternativamente, tome o caminho retilíneo
,
.
Então e
, e a soma
Então
se anula identicamente, levando de novo a integral
.
Resposta
(a)
(b)
(b)