(
) Um inseto está inicialmente na posição
, e se desloca seguindo uma linha reta até o ponto
. Qual é a taxa de variação da temperatura,
, experimentada pelo inseto a medida que se desloca entre
e
, se a temperatura na região é descrita pela função
(A temperatura é medida em graus Celsius e a distância em metros).
Passo 1
Vamos entender o que o exercício nos pede. Temos um inseto que se move de um ponto inicial
para um ponto final
seguindo uma linha reta. A temperatura na região é dada pela função
. Queremos descobrir qual a taxa de variação da temperatura que o inseto sente enquanto se desloca entre esses pontos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o gradiente e o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar a direção em que o inseto está se movendo. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos
e
:
Assim, o vetor de direção da movimentação é
.
Passo 3
Como a temperatura
depende apenas das coordenadas
e
, podemos ignorar a coordenada
na nossa análise. Portanto, consideramos apenas a parte
do vetor de direção:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente da função temperatura
. O gradiente é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente fica:
Passo 5
Para encontrar a taxa de variação da temperatura na direção do movimento do inseto, usamos o produto escalar entre o gradiente e o vetor de direção. Primeiro, vamos normalizar o vetor de direção para obter um vetor unitário.
O vetor de direção
tem magnitude:
Então, o vetor unitário na direção do movimento é:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar entre o gradiente
e o vetor unitário
:
Simplificando:
Resposta
A taxa de variação da temperatura experimentada pelo inseto ao se deslocar de
para
é: