( 2,5 pts ) Um inseto está inicialmente na posição P0(3,9,4), e se desloca seguindo uma linha reta até o ponto P1(5,7,3). Qual é a taxa de variação da temperatura, T, experimentada pelo inseto a medida que se desloca entre P0 e P1, se a temperatura na região é descrita pela função T=x e^y-x (A temperatura é medida em graus Celsius e a distância em metros).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício nos pede. Temos um inseto que se move de um ponto inicial P0(3,9,4) para um ponto final P1(5,7,3) seguindo uma linha reta. A temperatura na região é dada pela função T = x e^y - x . Queremos descobrir qual a taxa de variação da temperatura que o inseto sente enquanto se desloca entre esses pontos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o gradiente e o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a direção em que o inseto está se movendo. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos P1 e P0 :
v = P1 - P0 = (5-3, 7-9, 3-4) = (2, -2, -1)
Assim, o vetor de direção da movimentação é v = (2, -2, -1) .

Passo 3

Como a temperatura T depende apenas das coordenadas x e y , podemos ignorar a coordenada z na nossa análise. Portanto, consideramos apenas a parte (x, y) do vetor de direção:
vxy = (2, -2)

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente da função temperatura T(x, y) = x e^y - x . O gradiente é dado por:
nabla T = ( partial Tpartial x, partial Tpartial y )
Calculando as derivadas parciais:
partial Tpartial x = e^y - x (1 - x)
partial Tpartial y = x e^y - x
Portanto, o gradiente fica:
nabla T = ( e^y - x (1 - x), x e^y - x )

Passo 5

Para encontrar a taxa de variação da temperatura na direção do movimento do inseto, usamos o produto escalar entre o gradiente e o vetor de direção. Primeiro, vamos normalizar o vetor de direção para obter um vetor unitário.
O vetor de direção vxy = (2, -2) tem magnitude:
| vxy | = raiz2^2 + (-2)^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2
Então, o vetor unitário na direção do movimento é:
u = ( 22raiz2, -22raiz2 ) = ( 1raiz2, -1raiz2 )

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar entre o gradiente nabla T e o vetor unitário u :
Taxa de variação = nabla T cdot u = e^y - x (1 - x) ( 1raiz2 ) + x e^y - x ( -1raiz2 ) çã
Simplificando:
Taxa de variação = e^y - xraiz2 (1 - x - x) = e^y - xraiz2 (1 - 2x) çã

Resposta

A taxa de variação da temperatura experimentada pelo inseto ao se deslocar de P0 para P1 é:
e^y - xraiz2 (1 - 2x) , graus Celsius por metro

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