Seja y=sumn=0^infty an x^n.
Calcule y^prime e escreva os quatro primeiros termos da série.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a série de potências
y = sumn=0^inftyanx^n
e o objetivo é calcular sua derivada y' e escrever os quatro primeiros termos da série resultante. O conteúdo aqui é derivação termo a termo de uma série de potências.

Passo 2

Lembre que a derivada de um monômio ,x^n é
ddxx^n=n,x^,n-1
Logo, podemos derivar cada termo de sumn=0^inftyanx^n individualmente.

Passo 3

Aplicando a derivação termo a termo, obtemos
y'=ddxsumn=0^inftyanx^n =sumn=1^inftyn,an,x^,n-1

Passo 4

Para escrever os quatro primeiros termos da série de y', basta desenvolver a soma para n=1,2,3,4:
  • n=1: 1cdot a1,x^0=a1,
  • n=2: 2cdot a2,x^1=2a2x,
  • n=3: 3cdot a3,x^2=3a3x^2,
  • n=4: 4cdot a4,x^3=4a4x^3.
Assim, os quatro primeiros termos são
a1 + 2a2x + 3a3x^2 + 4a4x^3

Resposta

y' = sumn=1^inftyn,an,x^,n-1
Os quatro primeiros termos de y' são
a1 + 2a2x + 3a3x^2 + 4a4x^3

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