1 Encontre a equação da hipérbole que passa pelo ponto (6,2) e tem as retas r: 2 x+y=3 s: 2 x-y=1 por assíntotas.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole que passa por (6,2) e tem como assíntotas as retas
r:\;2x+y-3=0
e
s:\;2x-y-1=0.
O conteúdo aqui é reconhecer que, se L_1=0 e L_2=0 são as assíntotas de uma hipérbole, sua equação geral pode ser escrita como
L_1\cdot L_2 = k,
onde k é constante determinada pelo fato de o ponto dado pertencer à curva.

Passo 2

Primeiro encontramos o centro da hipérbole resolvendo o sistema das assíntotas:
\begin{cases} 2x+y=3,\\\\ 2x-y=1. \end{cases}
Somando as duas equações vem 4x=4, logo x=1. Substituindo em 2x+y=3 obtemos y=1.
Portanto, o centro é (1,1).

Passo 3

Escrevemos a equação em forma fatorada com as duas retas:
(2x+y-3)(2x-y-1) = k.

Passo 4

Para determinar k, usamos que a hipérbole passa por (6,2). Substituindo:
2\cdot6 + 2 - 3 = 11, \qquad 2\cdot6 - 2 - 1 = 9,
logo
k = 11 \times 9 = 99.

Passo 5

Concluímos que a equação desejada é
(2x+y-3)(2x-y-1) = 99.
Opcionalmente, expandindo, obtemos
4x^2 - y^2 -8x +2y -96 = 0.

Resposta

(2x+y-3)(2x-y-1) = 99.

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