1 Encontre a equação da hipérbole que passa pelo ponto
e tem as retas
s:
por assíntotas.
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma hipérbole que passa por
e tem como assíntotas as retas
e
O conteúdo aqui é reconhecer que, se
e
são as assíntotas de uma hipérbole, sua equação geral pode ser escrita como
onde
é constante determinada pelo fato de o ponto dado pertencer à curva.
Passo 2
Primeiro encontramos o centro da hipérbole resolvendo o sistema das assíntotas:
Somando as duas equações vem
, logo
. Substituindo em
obtemos
.
Portanto, o centro é .
Portanto, o centro é
Passo 3
Escrevemos a equação em forma fatorada com as duas retas:
Passo 4
Para determinar
, usamos que a hipérbole passa por
. Substituindo:
logo
Passo 5
Concluímos que a equação desejada é
Opcionalmente, expandindo, obtemos